Let α and β be the roots of x2+3x−16=0, and γ and δ be the roots of x2+3x−1=0. If Pn=αn+βn and Qn=γn+δn, then 2P23P25+3P24+Q24Q25−Q23 $
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Step-by-Step Solution
Step 1: पहले समीकरण के लिए संबंध स्थापित करें
हमें दिया गया है कि α समीकरण x2+3x−16=0 का एक मूल है। इसका मतलब है कि α इस समीकरण को संतुष्ट करेगा। हम α2 के लिए एक व्यंजक प्राप्त करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।
Step 2: पहले व्यंजक को सरल करें
हम Pn की परिभाषा का उपयोग करके पहले व्यंजक को विस्तारित करते हैं। फिर, हम α24 और β24 को उभयनिष्ठ लेकर इसे सरल करते हैं।
Step 3: पहले व्यंजक का मान ज्ञात करें
पहले चरण से, हम जानते हैं कि α2+3α−16=0, जिसका अर्थ है α+3=16/α । इसी तरह, β+3=16/β । इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक सरल हो जाता है।
Step 4: दूसरे समीकरण के लिए संबंध स्थापित करें
हमें दिया गया है कि γ समीकरण x2+3x−1=0 का एक मूल है। यह समीकरण को संतुष्ट करेगा। हम γ2 के लिए एक व्यंजक प्राप्त करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।
Step 5: दूसरे व्यंजक को सरल करें
हम Qn की परिभाषा का उपयोग करके दूसरे व्यंजक को विस्तारित करते हैं। फिर, हम γ23 और δ23 को उभयनिष्ठ लेकर इसे सरल करते हैं।
Step 6: दूसरे व्यंजक का मान ज्ञात करें
चौथे चरण से, हम जानते हैं कि γ2−1=−3γ । इसी तरह, δ2−1=−3δ । इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक सरल हो जाता है।
Step 7: अंतिम मान ज्ञात करें
अब हम पहले और दूसरे व्यंजक के मानों को जोड़ते हैं ताकि अंतिम परिणाम प्राप्त हो सके।