हमें दिया गया है कि α समीकरण x² + √3 x - 16 = 0 का एक मूल है। इसका मतलब है कि α इस समीकरण को संतुष्ट करेगा। हम α² के लिए एक व्यंजक प्राप्त करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।

हमें दिया गया है कि α समीकरण x² + √3 x - 16 = 0 का एक मूल है। इसका मतलब है कि α इस समीकरण को संतुष्ट करेगा। हम α² के लिए एक व्यंजक प्राप्त करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।

हम P_n की परिभाषा का उपयोग करके पहले व्यंजक को विस्तारित करते हैं। फिर, हम α^(24) और β^(24) को उभयनिष्ठ लेकर इसे सरल करते हैं।

हम P_n की परिभाषा का उपयोग करके पहले व्यंजक को विस्तारित करते हैं। फिर, हम α^(24) और β^(24) को उभयनिष्ठ लेकर इसे सरल करते हैं।

पहले चरण से, हम जानते हैं कि α² + √3α - 16 = 0, जिसका अर्थ है α + √3 = 16/α। इसी तरह, β + √3 = 16/β। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक सरल हो जाता है।

पहले चरण से, हम जानते हैं कि α² + √3α - 16 = 0, जिसका अर्थ है α + √3 = 16/α। इसी तरह, β + √3 = 16/β। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक सरल हो जाता है।

हमें दिया गया है कि समीकरण x² + 3x - 1 = 0 का एक मूल है। यह समीकरण को संतुष्ट करेगा। हम ² के लिए एक व्यंजक प्राप्त करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।

हमें दिया गया है कि समीकरण x² + 3x - 1 = 0 का एक मूल है। यह समीकरण को संतुष्ट करेगा। हम ² के लिए एक व्यंजक प्राप्त करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।

हम Q_n की परिभाषा का उपयोग करके दूसरे व्यंजक को विस्तारित करते हैं। फिर, हम ^(23) और ^(23) को उभयनिष्ठ लेकर इसे सरल करते हैं।

हम Q_n की परिभाषा का उपयोग करके दूसरे व्यंजक को विस्तारित करते हैं। फिर, हम ^(23) और ^(23) को उभयनिष्ठ लेकर इसे सरल करते हैं।

चौथे चरण से, हम जानते हैं कि ² - 1 = -3। इसी तरह, ² - 1 = -3। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक सरल हो जाता है।

चौथे चरण से, हम जानते हैं कि ² - 1 = -3। इसी तरह, ² - 1 = -3। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक सरल हो जाता है।

Let $\alpha$ and $\beta$ be the roots of $x^2 + \sqrt{3}\,x - 16 = 0$ , and $\gamma$ and $\delta$ be the roots of $x^2 + 3x - 1 = 0$ . If $P_n = \alpha^n + \beta^n$ and $Q_n = \gamma^n + \delta^n$ , then $\frac{P_{25} + \sqrt{3}\,P_{24}}{2P_{23}} \;+\; \frac{Q_{25} - Q_{23}}{Q_{24}}$ is equal to:

Answer: 5

Step-by-step solution

Step 1: पहले समीकरण के लिए संबंध स्थापित करें

हमें दिया गया है कि $\alpha$ समीकरण $x^2 + \sqrt{3}\,x - 16 = 0$ का एक मूल है। इसका मतलब है कि $\alpha$ इस समीकरण को संतुष्ट करेगा। हम $\alpha^2$ के लिए एक व्यंजक प्राप्त करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।

Step 2: पहले व्यंजक को सरल करें

हम $P_n$ की परिभाषा का उपयोग करके पहले व्यंजक को विस्तारित करते हैं। फिर, हम $\alpha^{24}$ और $\beta^{24}$ को उभयनिष्ठ लेकर इसे सरल करते हैं।

Step 3: पहले व्यंजक का मान ज्ञात करें

पहले चरण से, हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \sqrt{3}\alpha - 16 = 0$ , जिसका अर्थ है $\alpha + \sqrt{3} = 16/\alpha$ । इसी तरह, $\beta + \sqrt{3} = 16/\beta$ । इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक सरल हो जाता है।

Step 4: दूसरे समीकरण के लिए संबंध स्थापित करें

हमें दिया गया है कि $\gamma$ समीकरण $x^2 + 3x - 1 = 0$ का एक मूल है। यह समीकरण को संतुष्ट करेगा। हम $\gamma^2$ के लिए एक व्यंजक प्राप्त करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।

Step 5: दूसरे व्यंजक को सरल करें

हम $Q_n$ की परिभाषा का उपयोग करके दूसरे व्यंजक को विस्तारित करते हैं। फिर, हम $\gamma^{23}$ और $\delta^{23}$ को उभयनिष्ठ लेकर इसे सरल करते हैं।

Step 6: दूसरे व्यंजक का मान ज्ञात करें

चौथे चरण से, हम जानते हैं कि $\gamma^2 - 1 = -3\gamma$ । इसी तरह, $\delta^2 - 1 = -3\delta$ । इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक सरल हो जाता है।

Step 7: अंतिम मान ज्ञात करें

अब हम पहले और दूसरे व्यंजक के मानों को जोड़ते हैं ताकि अंतिम परिणाम प्राप्त हो सके।

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