Let α,β be the roots of the equation x2−ax−b=0 with Im(α)<Im(β). Let Pn=αn−βn. If P3=−57i, P4=−37i, P5=117i and P6=457i, then ∣α4+β4∣ is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: मूलों और गुणांकों के बीच संबंध स्थापित करें
दिए गए द्विघात समीकरण के मूल α और β हैं। हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण x2−(α+β)x+αβ=0 के लिए, मूलों का योग α+β=a और मूलों का गुणनफल αβ=−b होता है।
Step 2: पुनरावृत्ति संबंध स्थापित करें
चूंकि α और β समीकरण x2−ax−b=0 के मूल हैं, इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करेंगे। इस प्रकार, α2−aα−b=0⟹α2=aα+b और β2−aβ−b=0⟹β2=aβ+b ।
इन समीकरणों को n−2 की घात से गुणा करने पर, हमें αn=aαn−1+bαn−2 और βn=aβn−1+bβn−2 प्राप्त होता है।
इन दोनों समीकरणों को घटाने पर, हमें Pn=αn−βn=a(αn−1−βn−1)+b(αn−2−βn−2) मिलता है, जो Pn=aPn−1+bPn−2 है।
Step 3: a और b के मान ज्ञात करें
दिए गए मानों का उपयोग करके, हम P5=aP4+bP3 और P6=aP5+bP4 के लिए समीकरण स्थापित कर सकते हैं।
P5=117i, P4=−37i, P3=−57i का उपयोग करके, हमें 117i=a(−37i)+b(−57i) मिलता है, जिससे 11=−3a−5b (समीकरण 1) प्राप्त होता है।
P6=457i, P5=117i, P4=−37i का उपयोग करके, हमें 457i=a(117i)+b(−37i) मिलता है, जिससे 45=11a−3b (समीकरण 2) प्राप्त होता है।
समीकरण (1) को 3 से और समीकरण (2) को 5 से गुणा करने पर:
−9a−15b=33 55a−15b=225
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर:
64a=192⟹a=3 11=−3(3)−5b⟹11=−9−5b⟹20=−5b⟹b=−4
(नोट: दिए गए मानों के साथ गणना करने पर a=3,b=−4 प्राप्त होता है, न कि a=4,b=−4.6 जैसा कि चरण में गलती से लिखा गया है। हम सही मानों का उपयोग करेंगे।)
Step 4: अल्फा और बीटा के मान ज्ञात करें
अब जब हमारे पास a=3 और b=−4 है, तो मूल समीकरण x2−ax−b=0 बन जाता है x2−3x−(−4)=0, जो x2−3x+4=0 है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके मूल ज्ञात करें: x=2(1)−(−3)±(−3)2−4(1)(4)=23±9−16=23±−7=23±i7 ।
चूंकि Im(α)<Im(β), हम α=23−i7 और β=23+i7 लेते हैं।
Step 5: ∣α4+β4∣ का मान ज्ञात करें
हमें ∣α4+β4∣ का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि α+β=3 और αβ=4 ।
α2+β2=(α+β)2−2αβ=(3)2−2(4)=9−8=1 ।
α4+β4=(α2+β2)2−2(αβ)2=(1)2−2(4)2=1−2(16)=1−32=−31 ।
इसलिए, ∣α4+β4∣=∣−31∣=31 ।