Let α,β\alpha, \beta be the roots of the equation x2−ax−b=0x^2 - ax - b = 0 with Im⁡(α)<Im⁡(β)\operatorname{Im}(\alpha) < \operatorname{Im}(\beta). Let Pn=αn−βnP_n = \alpha^n - \beta^n. If P3=−57i\mathbf{P}_3 = -5\sqrt{7}i, P4=−37i\mathbf{P}_4 = -3\sqrt{7}i, P5=117i\mathbf{P}_5 = 11\sqrt{7}i and P6=457i\mathbf{P}_6 = 45\sqrt{7}i, then ∣α4+β4∣|\alpha^4 + \beta^4| is equal to:

Answer: 3131

Step-by-step solution

Step 1: मूलों और गुणांकों के बीच संबंध स्थापित करें

दिए गए द्विघात समीकरण के मूल α\alpha और β\beta हैं। हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण x2−(α+β)x+αβ=0x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 के लिए, मूलों का योग α+β=a\alpha + \beta = a और मूलों का गुणनफल αβ=−b\alpha\beta = -b होता है।

Step 2: पुनरावृत्ति संबंध स्थापित करें

चूंकि α\alpha और β\beta समीकरण x2−ax−b=0x^2 - ax - b = 0 के मूल हैं, इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करेंगे। इस प्रकार, α2−aα−b=0  ⟹  α2=aα+b\alpha^2 - a\alpha - b = 0 \implies \alpha^2 = a\alpha + b और β2−aβ−b=0  ⟹  β2=aβ+b\beta^2 - a\beta - b = 0 \implies \beta^2 = a\beta + b । इन समीकरणों को n−2n-2 की घात से गुणा करने पर, हमें αn=aαn−1+bαn−2\alpha^n = a\alpha^{n-1} + b\alpha^{n-2} और βn=aβn−1+bβn−2\beta^n = a\beta^{n-1} + b\beta^{n-2} प्राप्त होता है। इन दोनों समीकरणों को घटाने पर, हमें Pn=αn−βn=a(αn−1−βn−1)+b(αn−2−βn−2)P_n = \alpha^n - \beta^n = a(\alpha^{n-1} - \beta^{n-1}) + b(\alpha^{n-2} - \beta^{n-2}) मिलता है, जो Pn=aPn−1+bPn−2P_n = a P_{n-1} + b P_{n-2} है।

Step 3: a और b के मान ज्ञात करें

दिए गए मानों का उपयोग करके, हम P5=aP4+bP3P_5 = a P_4 + b P_3 और P6=aP5+bP4P_6 = a P_5 + b P_4 के लिए समीकरण स्थापित कर सकते हैं। P5=117iP_5 = 11\sqrt{7}i, P4=−37iP_4 = -3\sqrt{7}i, P3=−57iP_3 = -5\sqrt{7}i का उपयोग करके, हमें 117i=a(−37i)+b(−57i)11\sqrt{7}i = a(-3\sqrt{7}i) + b(-5\sqrt{7}i) मिलता है, जिससे 11=−3a−5b11 = -3a - 5b (समीकरण 1) प्राप्त होता है। P6=457iP_6 = 45\sqrt{7}i, P5=117iP_5 = 11\sqrt{7}i, P4=−37iP_4 = -3\sqrt{7}i का उपयोग करके, हमें 457i=a(117i)+b(−37i)45\sqrt{7}i = a(11\sqrt{7}i) + b(-3\sqrt{7}i) मिलता है, जिससे 45=11a−3b45 = 11a - 3b (समीकरण 2) प्राप्त होता है। समीकरण (1) को 3 से और समीकरण (2) को 5 से गुणा करने पर: −9a−15b=33-9a - 15b = 33 55a−15b=22555a - 15b = 225 दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: 64a=192  ⟹  a=364a = 192 \implies a = 3 11=−3(3)−5b  ⟹  11=−9−5b  ⟹  20=−5b  ⟹  b=−411 = -3(3) - 5b \implies 11 = -9 - 5b \implies 20 = -5b \implies b = -4 (नोट: दिए गए मानों के साथ गणना करने पर a=3,b=−4a=3, b=-4 प्राप्त होता है, न कि a=4,b=−4.6a=4, b=-4.6 जैसा कि चरण में गलती से लिखा गया है। हम सही मानों का उपयोग करेंगे।)

Step 4: अल्फा और बीटा के मान ज्ञात करें

अब जब हमारे पास a=3a=3 और b=−4b=-4 है, तो मूल समीकरण x2−ax−b=0x^2 - ax - b = 0 बन जाता है x2−3x−(−4)=0x^2 - 3x - (-4) = 0, जो x2−3x+4=0x^2 - 3x + 4 = 0 है। द्विघात सूत्र का उपयोग करके मूल ज्ञात करें: x=−(−3)±(−3)2−4(1)(4)2(1)=3±9−162=3±−72=3±i72x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2} । चूंकि Im⁡(α)<Im⁡(β)\operatorname{Im}(\alpha) < \operatorname{Im}(\beta), हम α=3−i72\alpha = \frac{3 - i\sqrt{7}}{2} और β=3+i72\beta = \frac{3 + i\sqrt{7}}{2} लेते हैं।

Step 5: ∣α4+β4∣|\alpha^4 + \beta^4| का मान ज्ञात करें

हमें ∣α4+β4∣|\alpha^4 + \beta^4| का मान ज्ञात करना है। हम जानते हैं कि α+β=3\alpha + \beta = 3 और αβ=4\alpha\beta = 4 । α2+β2=(α+β)2−2αβ=(3)2−2(4)=9−8=1\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (3)^2 - 2(4) = 9 - 8 = 1 । α4+β4=(α2+β2)2−2(αβ)2=(1)2−2(4)2=1−2(16)=1−32=−31\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2 = (1)^2 - 2(4)^2 = 1 - 2(16) = 1 - 32 = -31 । इसलिए, ∣α4+β4∣=∣−31∣=31|\alpha^4 + \beta^4| = |-31| = 31 ।

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