Let C1C_1 be the circle in the third quadrant of radius 3, that touches both coordinate axes. Let C2C_2 be the circle with centre (1,3)(1, 3) that touches C1C_1 externally at the point (α,β)(\alpha, \beta). If (β−α)2=mn(\beta - \alpha)^2 = \frac{m}{n}, gcd⁡(m,n)=1\gcd(m, n) = 1, then m+nm + n is equal to:

Answer: 22

Step-by-step solution

Step 1: वृत्त C1 का केंद्र और समीकरण ज्ञात करें

चूंकि वृत्त C1C_1 तीसरे चतुर्थांश में है, उसकी त्रिज्या 3 है, और यह दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है, इसलिए इसका केंद्र (−3,−3)(-3, -3) होगा। वृत्त का समीकरण (x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 होता है, जहाँ (h,k)(h, k) केंद्र है और rr त्रिज्या है।

Step 2: वृत्त C2 की त्रिज्या ज्ञात करें

वृत्त C1C_1 और C2C_2 एक दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। इसलिए, उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होगी। वृत्त C1C_1 का केंद्र (−3,−3)(-3, -3) और त्रिज्या r1=3r_1 = 3 है। वृत्त C2C_2 का केंद्र (1,3)(1, 3) है। केंद्रों के बीच की दूरी सूत्र (x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है।

Step 3: स्पर्श बिंदु (α,β)(\alpha, \beta) ज्ञात करें

जब दो वृत्त एक दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो स्पर्श बिंदु उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित होता है और त्रिज्याओं के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। हम विभाजन सूत्र का उपयोग करके स्पर्श बिंदु (α,β)(\alpha, \beta) ज्ञात कर सकते हैं।

Step 4: (β−α)2(\beta - \alpha)^2 का मान ज्ञात करें

अब हम β−α\beta - \alpha का मान ज्ञात करेंगे और फिर उसका वर्ग करेंगे।

Step 5: m+nm+n का मान ज्ञात करें

हमें दिया गया है कि (β−α)2=mn(\beta - \alpha)^2 = \frac{m}{n} और gcd⁡(m,n)=1\gcd(m, n) = 1 है। हमने (β−α)2=913(\beta - \alpha)^2 = \frac{9}{13} ज्ञात किया है। यहाँ m=9m=9 और n=13n=13 है, और 99 तथा 1313 का महत्तम समापवर्तक 11 है। इसलिए, m+nm+n का मान 9+139+13 होगा।

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