Let C1 be the circle in the third quadrant of radius 3, that touches both coordinate axes. Let C2 be the circle with centre (1,3) that touches C1 externally at the point (α,β). If (β−α)2=nm, gcd(m,n)=1, then m + n is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: वृत्त C1 का केंद्र और समीकरण ज्ञात करें
चूंकि वृत्त C1 तीसरे चतुर्थांश में है, उसकी त्रिज्या 3 है, और यह दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है, इसलिए इसका केंद्र (−3,−3) होगा। वृत्त का समीकरण (x−h)2+(y−k)2=r2 होता है, जहाँ (h, k) केंद्र है और r त्रिज्या है।
Step 2: वृत्त C2 की त्रिज्या ज्ञात करें
वृत्त C1 और C2 एक दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। इसलिए, उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होगी। वृत्त C1 का केंद्र (−3,−3) और त्रिज्या r1=3 है। वृत्त C2 का केंद्र (1,3) है। केंद्रों के बीच की दूरी सूत्र (x2−x1)2+(y2−y1)2 का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है।
Step 3: स्पर्श बिंदु (α,β) ज्ञात करें
जब दो वृत्त एक दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो स्पर्श बिंदु उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित होता है और त्रिज्याओं के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। हम विभाजन सूत्र का उपयोग करके स्पर्श बिंदु (α,β) ज्ञात कर सकते हैं।
Step 4: (β−α)2 का मान ज्ञात करें
अब हम β−α का मान ज्ञात करेंगे और फिर उसका वर्ग करेंगे।
Step 5: m+n का मान ज्ञात करें
हमें दिया गया है कि (β−α)2=nm और gcd(m,n)=1 है। हमने (β−α)2=139 ज्ञात किया है। यहाँ m=9 और n=13 है, और 9 तथा 13 का महत्तम समापवर्तक 1 है। इसलिए, m+n का मान 9+13 होगा।