Let CC be the circle of minimum area enclosing the ellipse x2a2+y2b2=1\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 with eccentricity 12\tfrac12 and foci (±2,0)(\pm2{,}0). Let PQRPQR be a variable triangle whose vertex PP lies on CC and whose side QRQR of length 2929 is parallel to the major axis of the ellipse and passes through the point where the ellipse intersects the negative yy –axis. Then the maximum area of △PQR\triangle PQR is:

Answer: अधिकतम क्षेत्रफल =29(2+3)\text{अधिकतम क्षेत्रफल } = 29(2 + \sqrt{3})

Step-by-step solution

Step 1: दीर्घवृत्त के मापदंड ज्ञात करें

दीर्घवृत्त के फोकस (±ae,0)(\pm ae, 0) दिए गए हैं (±2,0)(\pm 2, 0), इसलिए ae=2ae = 2 है। उत्केंद्रता e=12e = \frac{1}{2} दी गई है। इन मानों का उपयोग करके, हम दीर्घवृत्त के अर्ध-दीर्घ अक्ष aa और अर्ध-लघु अक्ष bb की गणना कर सकते हैं।

Step 2: दीर्घवृत्त को घेरने वाले न्यूनतम क्षेत्रफल के वृत्त C का समीकरण ज्ञात करें

दीर्घवृत्त x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 को घेरने वाले न्यूनतम क्षेत्रफल का वृत्त वह वृत्त होता है जिसका केंद्र दीर्घवृत्त के केंद्र पर होता है और जिसकी त्रिज्या अर्ध-दीर्घ अक्ष aa के बराबर होती है। इस प्रकार, वृत्त CC का समीकरण x2+y2=a2x^2+y^2 = a^2 है।

Step 3: त्रिभुज PQR के आधार QR की स्थिति और ऊँचाई ज्ञात करें

त्रिभुज PQRPQR का आधार QRQR दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष के समानांतर है और दीर्घवृत्त के नकारात्मक yy -अक्ष को प्रतिच्छेद करने वाले बिंदु से होकर गुजरता है। यह बिंदु (0,−b)(0, -b) है, इसलिए QRQR रेखा y=−b=−23y = -b = -2\sqrt{3} पर स्थित है। वृत्त CC की त्रिज्या R=a=4R = a = 4 है।

Step 4: त्रिभुज PQR के अधिकतम क्षेत्रफल की गणना करें

त्रिभुज का क्षेत्रफल अधिकतम होगा जब शीर्ष PP वृत्त CC पर सबसे ऊपर होगा, जो आधार QRQR से सबसे दूर होगा। वृत्त CC का केंद्र (0,0)(0{,}0) है और त्रिज्या R=4R=4 है। आधार QRQR रेखा y=−23y = -2\sqrt{3} पर है। इसलिए, शीर्ष PP का yy -निर्देशांक R=4R=4 होगा। त्रिभुज की ऊँचाई h=R−yQRh = R - y_{QR} होगी।

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