Let C be the circle of minimum area enclosing the ellipse a2x2+b2y2=1 with eccentricity 21 and foci (±2,0). Let PQR be a variable triangle whose vertex P lies on C and whose side QR of length 29 is parallel to the major axis of the ellipse and passes through the point where the ellipse intersects the negative y –axis. Then the maximum area of △PQR is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: दीर्घवृत्त के मापदंड ज्ञात करें
दीर्घवृत्त के फोकस (±ae,0) दिए गए हैं (±2,0), इसलिए ae=2 है। उत्केंद्रता e=21 दी गई है। इन मानों का उपयोग करके, हम दीर्घवृत्त के अर्ध-दीर्घ अक्ष a और अर्ध-लघु अक्ष b की गणना कर सकते हैं।
Step 2: दीर्घवृत्त को घेरने वाले न्यूनतम क्षेत्रफल के वृत्त C का समीकरण ज्ञात करें
दीर्घवृत्त a2x2+b2y2=1 को घेरने वाले न्यूनतम क्षेत्रफल का वृत्त वह वृत्त होता है जिसका केंद्र दीर्घवृत्त के केंद्र पर होता है और जिसकी त्रिज्या अर्ध-दीर्घ अक्ष a के बराबर होती है। इस प्रकार, वृत्त C का समीकरण x2+y2=a2 है।
Step 3: त्रिभुज PQR के आधार QR की स्थिति और ऊँचाई ज्ञात करें
त्रिभुज PQR का आधार QR दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष के समानांतर है और दीर्घवृत्त के नकारात्मक y -अक्ष को प्रतिच्छेद करने वाले बिंदु से होकर गुजरता है। यह बिंदु (0,−b) है, इसलिए QR रेखा y=−b=−23 पर स्थित है। वृत्त C की त्रिज्या R=a=4 है।
Step 4: त्रिभुज PQR के अधिकतम क्षेत्रफल की गणना करें
त्रिभुज का क्षेत्रफल अधिकतम होगा जब शीर्ष P वृत्त C पर सबसे ऊपर होगा, जो आधार QR से सबसे दूर होगा। वृत्त C का केंद्र (0,0) है और त्रिज्या R=4 है। आधार QR रेखा y=−23 पर है। इसलिए, शीर्ष P का y -निर्देशांक R=4 होगा। त्रिभुज की ऊँचाई h=R−yQR होगी।