सबसे पहले, हम दिए गए दीर्घवृत्त E_1 के लिए प्रमुख अक्ष (a_1), लघु अक्ष (b_1) और उत्केंद्रता (e) के मान ज्ञात करते हैं। दीर्घवृत्त के मानक समीकरण (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 से तुलना करके, हम a_1² = 5 और b_1² = 4 प्राप्त करते हैं। उत्केंद्रता e = √(1 - (b²)/(a²)) सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है।

सबसे पहले, हम दिए गए दीर्घवृत्त E_1 के लिए प्रमुख अक्ष (a_1), लघु अक्ष (b_1) और उत्केंद्रता (e) के मान ज्ञात करते हैं। दीर्घवृत्त के मानक समीकरण (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 से तुलना करके, हम a_1² = 5 और b_1² = 4 प्राप्त करते हैं। उत्केंद्रता e = √(1 - (b²)/(a²)) सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है।

अब हम A_i के योग की गणना करते हैं। चूंकि a_i+1² = (4)/(5) a_i², इसका मतलब है कि A_i+1 = (4)/(5) A_i। यह एक अनंत ज्यामितीय श्रृंखला है जिसका पहला पद A_1 = 2π√5 और सामान्य अनुपात r = (4)/(5) है। अनंत ज्यामितीय श्रृंखला के योग का सूत्र S = (A_1)/(1-r) है।

अब हम A_i के योग की गणना करते हैं। चूंकि a_i+1² = (4)/(5) a_i², इसका मतलब है कि A_i+1 = (4)/(5) A_i। यह एक अनंत ज्यामितीय श्रृंखला है जिसका पहला पद A_1 = 2π√5 और सामान्य अनुपात r = (4)/(5) है। अनंत ज्यामितीय श्रृंखला के योग का सूत्र S = (A_1)/(1-r) है।

अंत में, हम दिए गए व्यंजक (5)/(π) ( Σ_i=1^(∞) A_i) में योग का मान प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी मान की गणना करते हैं।

अंत में, हम दिए गए व्यंजक (5)/(π) ( Σ_i=1^(∞) A_i) में योग का मान प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी मान की गणना करते हैं।

Let $E_1: \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1$ be an ellipse. Ellipses $E_i$ are constructed such that their centres and eccentricities are same as that of $E_1$ , and the length of minor axis of $E_i$ is the length of major axis of $E_{i+1} (i \geq 1)$ . If $A_i$ is the area of the ellipse $E_i$ , then $\frac{5}{\pi} \left( \sum_{i=1}^{\infty} A_i \right)$ , is equal to

Answer: $50\sqrt{5}$

Step-by-step solution

Step 1: दीर्घवृत्त $E_1$ के मापदंड ज्ञात करें

सबसे पहले, हम दिए गए दीर्घवृत्त $E_1$ के लिए प्रमुख अक्ष ( $a_1$ ), लघु अक्ष ( $b_1$ ) और उत्केंद्रता ( $e$ ) के मान ज्ञात करते हैं। दीर्घवृत्त के मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करके, हम $a_1^2 = 5$ और $b_1^2 = 4$ प्राप्त करते हैं। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है।

Step 2: दीर्घवृत्त $E_i$ के मापदंड और क्षेत्रफल ज्ञात करें

चूंकि सभी दीर्घवृत्तों की उत्केंद्रता समान है, हम $E_i$ के लिए $a_i$ और $b_i$ के बीच संबंध स्थापित कर सकते हैं। उत्केंद्रता के सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं कि $b_i = \frac{2}{\sqrt{5}} a_i$ । दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A_i = \pi a_i b_i$ है, इसलिए हम इसे $a_i$ के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं।

Step 3: प्रमुख अक्षों के बीच संबंध स्थापित करें

समस्या के अनुसार, $E_i$ के लघु अक्ष की लंबाई $E_{i+1}$ के दीर्घ अक्ष की लंबाई के बराबर है। इसका मतलब है कि $2b_i = 2a_{i+1}$ । इस संबंध का उपयोग करके, हम $a_{i+1}$ को $a_i$ के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं, जिससे यह एक ज्यामितीय प्रगति बन जाती है।

Step 4: क्षेत्रफलों के योग की गणना करें

अब हम $A_i$ के योग की गणना करते हैं। चूंकि $a_{i+1}^2 = \frac{4}{5} a_i^2$ , इसका मतलब है कि $A_{i+1} = \frac{4}{5} A_i$ । यह एक अनंत ज्यामितीय श्रृंखला है जिसका पहला पद $A_1 = 2\pi\sqrt{5}$ और सामान्य अनुपात $r = \frac{4}{5}$ है। अनंत ज्यामितीय श्रृंखला के योग का सूत्र $S = \frac{A_1}{1-r}$ है।

Step 5: अंतिम व्यंजक का मूल्यांकन करें

अंत में, हम दिए गए व्यंजक $\frac{5}{\pi} \left( \sum_{i=1}^{\infty} A_i \right)$ में योग का मान प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी मान की गणना करते हैं।

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