Let E1:5x2+4y2=1 be an ellipse. Ellipses Ei are constructed such that their centres and eccentricities are same as that of E1, and the length of minor axis of Ei is the length of major axis of Ei+1(i≥1). If Ai is the area of the ellipse Ei, then π5(∑i=1∞Ai), is equal to
Get the complete, step-by-step math solution for: "Let E_1: (x²)/(5) + (y²)/(4) = 1 be an ellipse. Ellipses E_i are constructed such that their centres and eccentricities are same as that of E_1, and t...". Powered by SolveForX AI math tutor.
Step-by-Step Solution
Step 1: दीर्घवृत्त E1 के मापदंड ज्ञात करें
सबसे पहले, हम दिए गए दीर्घवृत्त E1 के लिए प्रमुख अक्ष (a1), लघु अक्ष (b1) और उत्केंद्रता (e) के मान ज्ञात करते हैं। दीर्घवृत्त के मानक समीकरण a2x2+b2y2=1 से तुलना करके, हम a12=5 और b12=4 प्राप्त करते हैं। उत्केंद्रता e=1−a2b2 सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है।
Step 2: दीर्घवृत्त Ei के मापदंड और क्षेत्रफल ज्ञात करें
चूंकि सभी दीर्घवृत्तों की उत्केंद्रता समान है, हम Ei के लिए ai और bi के बीच संबंध स्थापित कर सकते हैं। उत्केंद्रता के सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं कि bi=52ai । दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल Ai=πaibi है, इसलिए हम इसे ai के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं।
Step 3: प्रमुख अक्षों के बीच संबंध स्थापित करें
समस्या के अनुसार, Ei के लघु अक्ष की लंबाई Ei+1 के दीर्घ अक्ष की लंबाई के बराबर है। इसका मतलब है कि 2bi=2ai+1 । इस संबंध का उपयोग करके, हम ai+1 को ai के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं, जिससे यह एक ज्यामितीय प्रगति बन जाती है।
Step 4: क्षेत्रफलों के योग की गणना करें
अब हम Ai के योग की गणना करते हैं। चूंकि ai+12=54ai2, इसका मतलब है कि Ai+1=54Ai । यह एक अनंत ज्यामितीय श्रृंखला है जिसका पहला पद A1=2π5 और सामान्य अनुपात r=54 है। अनंत ज्यामितीय श्रृंखला के योग का सूत्र S=1−rA1 है।
Step 5: अंतिम व्यंजक का मूल्यांकन करें
अंत में, हम दिए गए व्यंजक π5(∑i=1∞Ai) में योग का मान प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी मान की गणना करते हैं।