प्रतिस्थापन के बाद, समाकल ∫_0^x f(t) (dt)/(x) बन जाता है। x को समाकल से बाहर निकालने पर, हमें (1)/(x) ∫_0^x f(t) dt = a f(x) मिलता है। x को दाहिनी ओर ले जाने पर, हमें ∫_0^x f(t) dt = a x f(x) प्राप्त होता है।

प्रतिस्थापन के बाद, समाकल ∫_0^x f(t) (dt)/(x) बन जाता है। x को समाकल से बाहर निकालने पर, हमें (1)/(x) ∫_0^x f(t) dt = a f(x) मिलता है। x को दाहिनी ओर ले जाने पर, हमें ∫_0^x f(t) dt = a x f(x) प्राप्त होता है।

अब, हम समीकरण के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करेंगे। समाकल के अवकलन के लिए, हम लेबनीज नियम का उपयोग करते हैं, जिससे (d)/(dx) ( ∫_0^x f(t) dt) = f(x) मिलता है। दाहिनी ओर, हम गुणनफल नियम का उपयोग करते हैं: (d)/(dx) (a x f(x)) = a (1 · f(x) + x · f'(x))। इन परिणामों को बराबर करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें (f'(x))/(f(x)) = (1-a)/(ax) प्राप्त होता है।

अब, हम समीकरण के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करेंगे। समाकल के अवकलन के लिए, हम लेबनीज नियम का उपयोग करते हैं, जिससे (d)/(dx) ( ∫_0^x f(t) dt) = f(x) मिलता है। दाहिनी ओर, हम गुणनफल नियम का उपयोग करते हैं: (d)/(dx) (a x f(x)) = a (1 · f(x) + x · f'(x))। इन परिणामों को बराबर करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें (f'(x))/(f(x)) = (1-a)/(ax) प्राप्त होता है।

हम दोनों पक्षों का समाकलन करेंगे। बायां पक्ष ln|f(x)| देता है। दायां पक्ष (1-a)/(a) ln|x| + C देता है। घातांक रूप में बदलने पर, हमें f(x) = C_1 x^((1-a)/(a)) मिलता है, जहाँ C_1 = e^C एक स्थिरांक है।

हम दोनों पक्षों का समाकलन करेंगे। बायां पक्ष ln|f(x)| देता है। दायां पक्ष (1-a)/(a) ln|x| + C देता है। घातांक रूप में बदलने पर, हमें f(x) = C_1 x^((1-a)/(a)) मिलता है, जहाँ C_1 = e^C एक स्थिरांक है।

हमें f(1) = 1 दिया गया है। इसे f(x) के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें C_1 = 1 मिलता है। तो, f(x) = x^((1-a)/(a))। हमें f(16) = (1)/(8) भी दिया गया है। इसे प्रतिस्थापित करने पर, हमें 16^((1-a)/(a)) = (1)/(8) मिलता है। आधारों को 2 में बदलने पर, हम घातांकों की तुलना कर सकते हैं और a=4 प्राप्त कर सकते हैं।

हमें f(1) = 1 दिया गया है। इसे f(x) के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें C_1 = 1 मिलता है। तो, f(x) = x^((1-a)/(a))। हमें f(16) = (1)/(8) भी दिया गया है। इसे प्रतिस्थापित करने पर, हमें 16^((1-a)/(a)) = (1)/(8) मिलता है। आधारों को 2 में बदलने पर, हम घातांकों की तुलना कर सकते हैं और a=4 प्राप्त कर सकते हैं।

अब जब हमने a=4 ज्ञात कर लिया है, तो हम (1-a)/(a) का मान ज्ञात कर सकते हैं, जो -(3)/(4) है। तो, f(x) = x^(-(3)/(4))। अब हम f'(x) ज्ञात करने के लिए f(x) का अवकलन करेंगे।

अब जब हमने a=4 ज्ञात कर लिया है, तो हम (1-a)/(a) का मान ज्ञात कर सकते हैं, जो -(3)/(4) है। तो, f(x) = x^(-(3)/(4))। अब हम f'(x) ज्ञात करने के लिए f(x) का अवकलन करेंगे।

Let $f: (0, \infty) \to \mathbf{R}$ be a twice differentiable function. If for some $a \neq 0$ , $\int_0^1 f(\lambda x) d\lambda = a f(x)$ , $f(1) = 1$ and $f(16) = \frac{1}{8}$ , then $16 - f'\left(\frac{1}{16}\right)$ is equal to

Answer: $112$

Step-by-step solution

Step 1: दिए गए समाकल समीकरण को सरल करें

हमें दिया गया है कि फलन $f$ दो बार अवकलनीय है और एक समाकल समीकरण को संतुष्ट करता है। इस समीकरण को सरल बनाने के लिए, हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे। मान लीजिए $t = \lambda x$ , तो $dt = x d\lambda$ (क्योंकि $x$ को समाकलन के संबंध में एक स्थिरांक माना जाता है)। जब $\lambda = 0$ , तो $t = 0$ और जब $\lambda = 1$ , तो $t = x$ ।

Step 2: प्रतिस्थापन लागू करें

प्रतिस्थापन के बाद, समाकल $\int_0^x f(t) \frac{dt}{x}$ बन जाता है। $x$ को समाकल से बाहर निकालने पर, हमें $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt = a f(x)$ मिलता है। $x$ को दाहिनी ओर ले जाने पर, हमें $\int_0^x f(t) dt = a x f(x)$ प्राप्त होता है।

Step 3: दोनों पक्षों का अवकलन करें

अब, हम समीकरण के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे। समाकल के अवकलन के लिए, हम लेबनीज नियम का उपयोग करते हैं, जिससे $\frac{d}{dx} \left( \int_0^x f(t) dt \right) = f(x)$ मिलता है। दाहिनी ओर, हम गुणनफल नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{d}{dx} (a x f(x)) = a (1 \cdot f(x) + x \cdot f'(x))$ । इन परिणामों को बराबर करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1-a}{ax}$ प्राप्त होता है।

Step 4: दोनों पक्षों का समाकलन करें

हम दोनों पक्षों का समाकलन करेंगे। बायां पक्ष $\ln|f(x)|$ देता है। दायां पक्ष $\frac{1-a}{a} \ln|x| + C$ देता है। घातांक रूप में बदलने पर, हमें $f(x) = C_1 x^{\frac{1-a}{a}}$ मिलता है, जहाँ $C_1 = e^C$ एक स्थिरांक है।

Step 5: स्थिरांक और $a$ का मान ज्ञात करें

हमें $f(1) = 1$ दिया गया है। इसे $f(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $C_1 = 1$ मिलता है। तो, $f(x) = x^{\frac{1-a}{a}}$ । हमें $f(16) = \frac{1}{8}$ भी दिया गया है। इसे प्रतिस्थापित करने पर, हमें $16^{\frac{1-a}{a}} = \frac{1}{8}$ मिलता है। आधारों को 2 में बदलने पर, हम घातांकों की तुलना कर सकते हैं और $a=4$ प्राप्त कर सकते हैं।

Step 6: $f(x)$ और $f'(x)$ ज्ञात करें

अब जब हमने $a=4$ ज्ञात कर लिया है, तो हम $\frac{1-a}{a}$ का मान ज्ञात कर सकते हैं, जो $-\frac{3}{4}$ है। तो, $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$ । अब हम $f'(x)$ ज्ञात करने के लिए $f(x)$ का अवकलन करेंगे।

Step 7: $16 - f'\left(\frac{1}{16}\right)$ का मान ज्ञात करें

अंत में, हम $f'\left(\frac{1}{16}\right)$ का मान ज्ञात करने के लिए $x = \frac{1}{16}$ को $f'(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करेंगे। गणना करने पर, हमें $f'\left(\frac{1}{16}\right) = -96$ मिलता है। फिर, हम $16 - f'\left(\frac{1}{16}\right)$ का मान ज्ञात करेंगे।

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