Let f:(0,∞)→R be a twice differentiable function. If for some a=0, ∫01f(λx)dλ=af(x), f(1)=1 and f(16)=81, then 16−f′(161) is equal to
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Step-by-Step Solution
Step 1: दिए गए समाकल समीकरण को सरल करें
हमें दिया गया है कि फलन f दो बार अवकलनीय है और एक समाकल समीकरण को संतुष्ट करता है। इस समीकरण को सरल बनाने के लिए, हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे। मान लीजिए t=λx, तो dt=xdλ (क्योंकि x को समाकलन के संबंध में एक स्थिरांक माना जाता है)। जब λ=0, तो t=0 और जब λ=1, तो t=x ।
Step 2: प्रतिस्थापन लागू करें
प्रतिस्थापन के बाद, समाकल ∫0xf(t)xdt बन जाता है। x को समाकल से बाहर निकालने पर, हमें x1∫0xf(t)dt=af(x) मिलता है। x को दाहिनी ओर ले जाने पर, हमें ∫0xf(t)dt=axf(x) प्राप्त होता है।
Step 3: दोनों पक्षों का अवकलन करें
अब, हम समीकरण के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करेंगे। समाकल के अवकलन के लिए, हम लेबनीज नियम का उपयोग करते हैं, जिससे dxd(∫0xf(t)dt)=f(x) मिलता है। दाहिनी ओर, हम गुणनफल नियम का उपयोग करते हैं: dxd(axf(x))=a(1⋅f(x)+x⋅f′(x)) । इन परिणामों को बराबर करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें f(x)f′(x)=ax1−a प्राप्त होता है।
Step 4: दोनों पक्षों का समाकलन करें
हम दोनों पक्षों का समाकलन करेंगे। बायां पक्ष ln∣f(x)∣ देता है। दायां पक्ष a1−aln∣x∣+C देता है। घातांक रूप में बदलने पर, हमें f(x)=C1xa1−a मिलता है, जहाँ C1=eC एक स्थिरांक है।
Step 5: स्थिरांक और a का मान ज्ञात करें
हमें f(1)=1 दिया गया है। इसे f(x) के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें C1=1 मिलता है। तो, f(x)=xa1−a । हमें f(16)=81 भी दिया गया है। इसे प्रतिस्थापित करने पर, हमें 16a1−a=81 मिलता है। आधारों को 2 में बदलने पर, हम घातांकों की तुलना कर सकते हैं और a=4 प्राप्त कर सकते हैं।
Step 6: f(x) और f'(x) ज्ञात करें
अब जब हमने a=4 ज्ञात कर लिया है, तो हम a1−a का मान ज्ञात कर सकते हैं, जो −43 है। तो, f(x)=x−43 । अब हम f'(x) ज्ञात करने के लिए f(x) का अवकलन करेंगे।
Step 7: 16−f′(161) का मान ज्ञात करें
अंत में, हम f′(161) का मान ज्ञात करने के लिए x=161 को f'(x) के व्यंजक में प्रतिस्थापित करेंगे। गणना करने पर, हमें f′(161)=−96 मिलता है। फिर, हम 16−f′(161) का मान ज्ञात करेंगे।