Let $f=\{(1{,}1),(2{,}3),(0,-1),(-1,-3)\}$ be a linear function from $\mathbf{Z}$ into $\mathbf{Z}$ . Find $f(x)$ .

Answer: $f(x) = 2x - 1$

Step-by-step solution

Step 1: रैखिक फलन का सामान्य रूप

एक रैखिक फलन को सामान्यतः $f(x) = ax + b$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं। हमें इन स्थिरांकों का मान ज्ञात करना होगा।

Step 2: दिए गए बिंदुओं का उपयोग करके समीकरण बनाना

हमें फलन के कुछ बिंदु दिए गए हैं। हम इनमें से किसी भी बिंदु का उपयोग करके $a$ और $b$ के लिए समीकरण बना सकते हैं। बिंदु $(0, -1)$ का उपयोग करने पर, हम पाते हैं कि $f(0) = -1$ , जिससे हमें $b$ का मान सीधे मिल जाता है।

Step 3: दूसरे बिंदु का उपयोग करके 'a' ज्ञात करना

अब जब हमें $b = -1$ पता है, तो हम दूसरे बिंदु, जैसे $(1, 1)$ का उपयोग करके $a$ का मान ज्ञात कर सकते हैं। $f(1) = 1$ को समीकरण $f(x) = ax + b$ में रखने पर, हमें $a$ का मान प्राप्त होता है।

Step 4: फलन $f(x)$ लिखना

हमने $a = 2$ और $b = -1$ के मान ज्ञात कर लिए हैं। इन मानों को रैखिक फलन के सामान्य रूप $f(x) = ax + b$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें फलन $f(x)$ प्राप्त होता है।

Step 5: अन्य बिंदुओं से सत्यापन (वैकल्पिक)

हम अपने परिणाम को सत्यापित करने के लिए दिए गए अन्य बिंदुओं का उपयोग कर सकते हैं। $f(2)$ और $f(-1)$ की गणना करने पर, हम देखते हैं कि वे दिए गए मानों $(2{,}3)$ और $(-1,-3)$ से मेल खाते हैं, जो दर्शाता है कि हमारा फलन सही है।

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Let f={(1,1),(2,3),(0,−1),(−1,−3)}f=\{(1{,}1),(2{,}3),(0,-1),(-1,-3)\}f={(1,1),(2,3),(0,−1),(−1,−3)} be a linear function from Z\mathbf{Z}Z into Z\mathbf{Z}Z. Find f(x)f(x)f(x).