Let f={(1,1),(2,3),(0,−1),(−1,−3)} be a linear function from Z into Z. Find f(x).
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Step-by-Step Solution
Step 1: रैखिक फलन का सामान्य रूप
एक रैखिक फलन को सामान्यतः f(x)=ax+b के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ a और b स्थिरांक हैं। हमें इन स्थिरांकों का मान ज्ञात करना होगा।
Step 2: दिए गए बिंदुओं का उपयोग करके समीकरण बनाना
हमें फलन के कुछ बिंदु दिए गए हैं। हम इनमें से किसी भी बिंदु का उपयोग करके a और b के लिए समीकरण बना सकते हैं। बिंदु (0,−1) का उपयोग करने पर, हम पाते हैं कि f(0)=−1, जिससे हमें b का मान सीधे मिल जाता है।
Step 3: दूसरे बिंदु का उपयोग करके 'a' ज्ञात करना
अब जब हमें b=−1 पता है, तो हम दूसरे बिंदु, जैसे (1,1) का उपयोग करके a का मान ज्ञात कर सकते हैं। f(1)=1 को समीकरण f(x)=ax+b में रखने पर, हमें a का मान प्राप्त होता है।
Step 4: फलन f(x) लिखना
हमने a=2 और b=−1 के मान ज्ञात कर लिए हैं। इन मानों को रैखिक फलन के सामान्य रूप f(x)=ax+b में प्रतिस्थापित करने पर, हमें फलन f(x) प्राप्त होता है।
Step 5: अन्य बिंदुओं से सत्यापन (वैकल्पिक)
हम अपने परिणाम को सत्यापित करने के लिए दिए गए अन्य बिंदुओं का उपयोग कर सकते हैं। f(2) और f(−1) की गणना करने पर, हम देखते हैं कि वे दिए गए मानों (2,3) और (−1,−3) से मेल खाते हैं, जो दर्शाता है कि हमारा फलन सही है।