Let f be a continuous function on [a,b] such that ∫ₐᵇ xⁿf(x)dx = 0 for all n ≥ 0. Prove that f(x) = 0 for all x ∈ [a,b].
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Step-by-Step Solution
Step 1: बहुपद सन्निकटन
चूंकि f अंतराल [a,b] पर एक संतत फलन है, हम वीयरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं। यह प्रमेय कहता है कि किसी भी संतत फलन को एक बहुपद द्वारा समान रूप से सन्निकटित किया जा सकता है। इसलिए, हम एक बहुपद P(x) ले सकते हैं जो f(x) का सन्निकटन करता है।
Step 2: समाकलन का उपयोग
दिए गए शर्त के अनुसार, ∫abxnf(x)dx=0 सभी n≥0 के लिए। हम इस शर्त का उपयोग बहुपद P(x) के साथ f(x) के गुणनफल के समाकलन को सरल बनाने के लिए करेंगे।
Step 3: रैखिकता का अनुप्रयोग
समाकलन की रैखिकता गुण का उपयोग करके, हम समाकलन को अलग-अलग पदों में विभाजित कर सकते हैं। प्रत्येक पद में xnf(x) का समाकलन शामिल है, जो दिए गए शर्त के अनुसार शून्य है।
Step 4: परिणामी समाकलन
चूंकि प्रत्येक ∫abxnf(x)dx=0, इसलिए बहुपद P(x) और f(x) के गुणनफल का समाकलन भी शून्य होगा।
Step 5: मुख्य निष्कर्ष
वीयरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय के अनुसार, हम P(x) को f(x) के बहुत करीब चुन सकते हैं, ताकि P(x)f(x) का समाकलन f(x)2 के समाकलन के करीब हो। यदि ∫abP(x)f(x)dx=0 सभी बहुपदों P(x) के लिए, तो हम P(x)=f(x) चुन सकते हैं (या P(x) को f(x) के बहुत करीब ले सकते हैं)। चूंकि f(x) एक संतत फलन है और ∫abf(x)2dx=0, इसका अर्थ है कि f(x)2 को [a,b] पर हर जगह शून्य होना चाहिए।
Step 6: अंतिम परिणाम
चूंकि f(x)2=0 सभी x∈[a,b] के लिए, इसका अर्थ है कि f(x) को भी सभी x∈[a,b] के लिए शून्य होना चाहिए।