Let f:R→R be a thrice‐differentiable odd function satisfying f′′(x)=f(x), f(0)=0, and f′(0)=3. Then 9f(ln3) is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: अवकल समीकरण को हल करना
हमें दिया गया है कि f′′(x)=f(x) । इस अवकल समीकरण को हल करने के लिए, हम इसे f′′(x)−f(x)=0 के रूप में लिख सकते हैं। यह एक द्वितीय-क्रम रैखिक समरूप अवकल समीकरण है।
Step 2: अभिलाक्षणिक समीकरण ज्ञात करना
अवकल समीकरण f′′(x)−f(x)=0 के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण m2−1=0 है। इसे हल करने पर हमें m=1 और m=−1 प्राप्त होता है।
Step 3: सामान्य हल लिखना
अभिलाक्षणिक समीकरण के मूल m=1 और m=−1 हैं, इसलिए अवकल समीकरण का सामान्य हल f(x)=Aex+Be−x के रूप में होगा, जहाँ A और B स्थिरांक हैं।
Step 4: विषम फलन की शर्त का उपयोग करना
हमें दिया गया है कि f(x) एक विषम फलन है, जिसका अर्थ है कि f(x)=−f(−x) । इस शर्त को सामान्य हल में लागू करने पर, हमें B=−A प्राप्त होता है।
Step 5: फलन को सरल बनाना और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करना
अब हम B=−A को सामान्य हल में प्रतिस्थापित करते हैं, जिससे f(x)=A(ex−e−x) प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि ex−e−x=2sinh(x), इसलिए f(x)=2Asinh(x) । f'(x) ज्ञात करने के लिए इसे अवकलित करते हैं, जो f′(x)=2Acosh(x) है। दी गई शर्त f′(0)=3 का उपयोग करके, हम A=23 पाते हैं।
Step 6: अंतिम मान की गणना करना
अब जब हमारे पास A का मान है, तो हम f(x)=3sinh(x) लिख सकते हैं। हमें 9f(ln3) का मान ज्ञात करना है। sinh(x) की परिभाषा का उपयोग करके और मानों को प्रतिस्थापित करके, हम अंतिम उत्तर 36 प्राप्त करते हैं।