अवकल समीकरण f''(x) - f(x) = 0 के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण m² - 1 = 0 है। इसे हल करने पर हमें m = 1 और m = -1 प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण f''(x) - f(x) = 0 के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण m² - 1 = 0 है। इसे हल करने पर हमें m = 1 और m = -1 प्राप्त होता है।

अब हम B = -A को सामान्य हल में प्रतिस्थापित करते हैं, जिससे f(x) = A(e^x - e^(-x)) प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि e^x - e^(-x) = 2 (x), इसलिए f(x) = 2A (x)। f'(x) ज्ञात करने के लिए इसे अवकलित करते हैं, जो f'(x) = 2A (x) है। दी गई शर्त f'(0)=3 का उपयोग करके, हम A = (3)/(2) पाते हैं।

अब हम B = -A को सामान्य हल में प्रतिस्थापित करते हैं, जिससे f(x) = A(e^x - e^(-x)) प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि e^x - e^(-x) = 2 (x), इसलिए f(x) = 2A (x)। f'(x) ज्ञात करने के लिए इसे अवकलित करते हैं, जो f'(x) = 2A (x) है। दी गई शर्त f'(0)=3 का उपयोग करके, हम A = (3)/(2) पाते हैं।

अब जब हमारे पास A का मान है, तो हम f(x) = 3 (x) लिख सकते हैं। हमें 9f(ln 3) का मान ज्ञात करना है। (x) की परिभाषा का उपयोग करके और मानों को प्रतिस्थापित करके, हम अंतिम उत्तर 36 प्राप्त करते हैं।

अब जब हमारे पास A का मान है, तो हम f(x) = 3 (x) लिख सकते हैं। हमें 9f(ln 3) का मान ज्ञात करना है। (x) की परिभाषा का उपयोग करके और मानों को प्रतिस्थापित करके, हम अंतिम उत्तर 36 प्राप्त करते हैं।

Let $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ be a thrice‐differentiable odd function satisfying $f''(x)=f(x)$ , $f(0)=0$ , and $f'(0)=3$ . Then $9f(\ln 3)$ is equal to:

Answer: 36

Step-by-step solution

Step 1: अवकल समीकरण को हल करना

हमें दिया गया है कि $f''(x) = f(x)$ । इस अवकल समीकरण को हल करने के लिए, हम इसे $f''(x) - f(x) = 0$ के रूप में लिख सकते हैं। यह एक द्वितीय-क्रम रैखिक समरूप अवकल समीकरण है।

Step 2: अभिलाक्षणिक समीकरण ज्ञात करना

अवकल समीकरण $f''(x) - f(x) = 0$ के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण $m^2 - 1 = 0$ है। इसे हल करने पर हमें $m = 1$ और $m = -1$ प्राप्त होता है।

Step 3: सामान्य हल लिखना

अभिलाक्षणिक समीकरण के मूल $m = 1$ और $m = -1$ हैं, इसलिए अवकल समीकरण का सामान्य हल $f(x) = Ae^x + Be^{-x}$ के रूप में होगा, जहाँ $A$ और $B$ स्थिरांक हैं।

Step 4: विषम फलन की शर्त का उपयोग करना

हमें दिया गया है कि $f(x)$ एक विषम फलन है, जिसका अर्थ है कि $f(x) = -f(-x)$ । इस शर्त को सामान्य हल में लागू करने पर, हमें $B = -A$ प्राप्त होता है।

Step 5: फलन को सरल बनाना और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करना

अब हम $B = -A$ को सामान्य हल में प्रतिस्थापित करते हैं, जिससे $f(x) = A(e^x - e^{-x})$ प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि $e^x - e^{-x} = 2\sinh(x)$ , इसलिए $f(x) = 2A\sinh(x)$ । $f'(x)$ ज्ञात करने के लिए इसे अवकलित करते हैं, जो $f'(x) = 2A\cosh(x)$ है। दी गई शर्त $f'(0)=3$ का उपयोग करके, हम $A = \frac{3}{2}$ पाते हैं।

Step 6: अंतिम मान की गणना करना

अब जब हमारे पास $A$ का मान है, तो हम $f(x) = 3\sinh(x)$ लिख सकते हैं। हमें $9f(\ln 3)$ का मान ज्ञात करना है। $\sinh(x)$ की परिभाषा का उपयोग करके और मानों को प्रतिस्थापित करके, हम अंतिम उत्तर 36 प्राप्त करते हैं।

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Let f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}f:R→R be a thrice‐differentiable odd function satisfying f′′(x)=f(x)f''(x)=f(x)f′′(x)=f(x), f(0)=0f(0)=0f(0)=0, and f′(0)=3f'(0)=3f′(0)=3. Then 9f(ln⁡3)9f(\ln 3)9f(ln3) is equal to: