Let f:R→R be a twice differentiable function such that f(x+y)=f(x)f(y) for all x,y∈R. If f′(0)=4a and f satisfies f′′(x)−3af′(x)−f(x)=0, a>0, then the area of the region R={(x,y)∣0≤y≤f(ax),0≤x≤2} is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: फलन f(x) ज्ञात करना
दिए गए फलन f(x+y)=f(x)f(y) को हल करने के लिए, हम y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करते हैं और फिर y=0 रखते हैं। इससे हमें f′(x)=f(x)f′(0) मिलता है। यह एक प्रथम-क्रम रैखिक अवकल समीकरण है जिसका हल f(x)=ef′(0)x होता है।
Step 2: स्थिरांक f′(0) का मान ज्ञात करना
हमें दिया गया है कि f′(0)=4a और f(x) अवकल समीकरण f′′(x)−3af′(x)−f(x)=0 को संतुष्ट करता है। f(x)=ekx के लिए, f′(x)=kekx और f′′(x)=k2ekx होता है, जहाँ k=f′(0) । इन मानों को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें k2−3ak−1=0 मिलता है। k=4a रखने पर, हम a का मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 3: फलन f(x) को पूर्ण करना
चूंकि हमने a=21 ज्ञात कर लिया है, हम f′(0) का मान ज्ञात कर सकते हैं। फिर इस मान का उपयोग करके हम फलन f(x) के लिए पूर्ण व्यंजक प्राप्त करते हैं।
Step 4: क्षेत्रफल के लिए समाकलन स्थापित करना
क्षेत्र R का क्षेत्रफल y=f(ax) वक्र के नीचे x=0 से x=2 तक के क्षेत्र का समाकलन करके ज्ञात किया जाता है। हम f(x) और a के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 5: क्षेत्रफल का मूल्यांकन करना
अब हम निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते हैं। ex का समाकलन ex ही होता है। हम ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी मानों को घटाते हैं।