Let f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} be a twice differentiable function such that f(x+y)=f(x)f(y)f(x + y) = f(x) f(y) for all x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. If f′(0)=4af'(0) = 4a and ff satisfies f′′(x)−3af′(x)−f(x)=0f''(x) - 3a f'(x) - f(x) = 0, a>0a > 0, then the area of the region R={(x,y)∣0≤y≤f(ax),0≤x≤2}\mathbb{R} = \{(x, y) \mid 0 \leq y \leq f(a x), 0 \leq x \leq 2\} is:

Answer: e2−1e^2 - 1

Step-by-step solution

Step 1: फलन f(x)f(x) ज्ञात करना

दिए गए फलन f(x+y)=f(x)f(y)f(x+y) = f(x)f(y) को हल करने के लिए, हम yy के सापेक्ष आंशिक अवकलन करते हैं और फिर y=0y=0 रखते हैं। इससे हमें f′(x)=f(x)f′(0)f'(x) = f(x)f'(0) मिलता है। यह एक प्रथम-क्रम रैखिक अवकल समीकरण है जिसका हल f(x)=ef′(0)xf(x) = e^{f'(0)x} होता है।

Step 2: स्थिरांक f′(0)f'(0) का मान ज्ञात करना

हमें दिया गया है कि f′(0)=4af'(0) = 4a और f(x)f(x) अवकल समीकरण f′′(x)−3af′(x)−f(x)=0f''(x) - 3a f'(x) - f(x) = 0 को संतुष्ट करता है। f(x)=ekxf(x) = e^{kx} के लिए, f′(x)=kekxf'(x) = ke^{kx} और f′′(x)=k2ekxf''(x) = k^2e^{kx} होता है, जहाँ k=f′(0)k = f'(0) । इन मानों को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें k2−3ak−1=0k^2 - 3ak - 1 = 0 मिलता है। k=4ak=4a रखने पर, हम aa का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 3: फलन f(x)f(x) को पूर्ण करना

चूंकि हमने a=12a = \frac{1}{2} ज्ञात कर लिया है, हम f′(0)f'(0) का मान ज्ञात कर सकते हैं। फिर इस मान का उपयोग करके हम फलन f(x)f(x) के लिए पूर्ण व्यंजक प्राप्त करते हैं।

Step 4: क्षेत्रफल के लिए समाकलन स्थापित करना

क्षेत्र R\mathbb{R} का क्षेत्रफल y=f(ax)y = f(ax) वक्र के नीचे x=0x=0 से x=2x=2 तक के क्षेत्र का समाकलन करके ज्ञात किया जाता है। हम f(x)f(x) और aa के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 5: क्षेत्रफल का मूल्यांकन करना

अब हम निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते हैं। exe^x का समाकलन exe^x ही होता है। हम ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी मानों को घटाते हैं।

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