Let f(x)={3x,x<0min⁡{1+x+[x],x+2[x]},0≤x≤25,x>2f(x) = \begin{cases} 3x, & x < 0 \\ \min \{1 + x + [x], x + 2[x]\}, & 0 \leq x \leq 2 \\ 5, & x > 2 \end{cases} where [.] denotes greatest integer function. If α\alpha and β\beta are the number of points, where ff is not continuous and is not differentiable, respectively, then α+β\alpha + \beta equals

Answer: 5

Step-by-step solution

Step 1: फलन f(x)f(x) को सरल करें

हम दिए गए फलन f(x)f(x) को सरल करते हैं, विशेष रूप से 0≤x≤20 \leq x \leq 2 के लिए, जहाँ महत्तम पूर्णांक फलन [x][x] शामिल है। जब 0≤x<10 \leq x < 1, तो [x]=0[x] = 0 होता है। इसलिए, min⁡{1+x+0,x+2(0)}=min⁡{1+x,x}=x\min \{1 + x + 0, x + 2(0)\} = \min \{1 + x, x\} = x । जब 1≤x<21 \leq x < 2, तो [x]=1[x] = 1 होता है। इसलिए, min⁡{1+x+1,x+2(1)}=min⁡{2+x,x+2}=x+2\min \{1 + x + 1, x + 2(1)\} = \min \{2 + x, x + 2\} = x + 2 । जब x=2x = 2, तो [x]=2[x] = 2 होता है। इसलिए, min⁡{1+2+2,2+2(2)}=min⁡{5,6}=5\min \{1 + 2 + 2, 2 + 2(2)\} = \min \{5, 6\} = 5 । इस प्रकार, फलन को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: f(x)={3x,x<0x,0≤x<1x+2,1≤x<25,x=25,x>2f(x) = \begin{cases} 3x, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ x + 2, & 1 \leq x < 2 \\ 5, & x = 2 \\ 5, & x > 2 \end{cases}

Step 2: असंततता के बिंदुओं की पहचान करें

हम फलन की निरंतरता की जाँच उन बिंदुओं पर करते हैं जहाँ फलन की परिभाषा बदलती है, अर्थात् x=0,x=1x = 0, x = 1 और x=2x = 2 पर। x=0x = 0 पर: बायां हाथ सीमा: lim⁡x→0−3x=0\lim_{x \to 0^-} 3x = 0 दायां हाथ सीमा: lim⁡x→0+x=0\lim_{x \to 0^+} x = 0 फलन का मान: f(0)=0f(0) = 0 चूंकि तीनों बराबर हैं, फलन x=0x=0 पर सतत है। x=1x = 1 पर: बायां हाथ सीमा: lim⁡x→1−x=1\lim_{x \to 1^-} x = 1 दायां हाथ सीमा: lim⁡x→1+(x+2)=1+2=3\lim_{x \to 1^+} (x+2) = 1+2 = 3 फलन का मान: f(1)=1+2=3f(1) = 1+2 = 3 चूंकि बायां हाथ सीमा दायां हाथ सीमा के बराबर नहीं है, फलन x=1x=1 पर असतत है। x=2x = 2 पर: बायां हाथ सीमा: lim⁡x→2−(x+2)=2+2=4\lim_{x \to 2^-} (x+2) = 2+2 = 4 दायां हाथ सीमा: lim⁡x→2+5=5\lim_{x \to 2^+} 5 = 5 फलन का मान: f(2)=5f(2) = 5 चूंकि बायां हाथ सीमा दायां हाथ सीमा के बराबर नहीं है, फलन x=2x=2 पर असतत है। इसलिए, असंततता के बिंदु x=1x=1 और x=2x=2 हैं। अतः α=2\alpha = 2 ।

Step 3: अवकलनीयता के बिंदुओं की पहचान करें

एक फलन उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं होता है जहाँ वह असतत होता है, या जहाँ उसके बाएं और दाएं अवकलज बराबर नहीं होते हैं। हमने पाया कि फलन x=1x=1 और x=2x=2 पर असतत है, इसलिए यह इन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है। अब हम x=0x=0 पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं: बायां हाथ अवकलज: lim⁡h→0−f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0−3h−0h=3\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{3h - 0}{h} = 3 दायां हाथ अवकलज: lim⁡h→0+f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0+h−0h=1\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = 1 चूंकि बाएं और दाएं अवकलज बराबर नहीं हैं, फलन x=0x=0 पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, अवकलनीयता के बिंदु x=0,x=1x=0, x=1 और x=2x=2 हैं। अतः β=3\beta = 3 ।

Step 4: α+β\alpha + \beta की गणना करें

हमने पाया कि असंततता के बिंदुओं की संख्या α=2\alpha = 2 है और अवकलनीयता के बिंदुओं की संख्या β=3\beta = 3 है। अब हम α+β\alpha + \beta का मान ज्ञात करते हैं।

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