पिछले चरण में प्राप्त अवकलन को सरल करने पर, हमें f'(x) का मान प्राप्त होता है। यहाँ e^x² हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए f'(x) का चिन्ह 2x(x^4 - 8x² + 15) के चिन्ह पर निर्भर करेगा।

पिछले चरण में प्राप्त अवकलन को सरल करने पर, हमें f'(x) का मान प्राप्त होता है। यहाँ e^x² हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए f'(x) का चिन्ह 2x(x^4 - 8x² + 15) के चिन्ह पर निर्भर करेगा।

हम x^4 - 8x² + 15 को गुणनखंडित करते हैं। यह एक द्विघात समीकरण है यदि हम y = x² मानते हैं, तो y² - 8y + 15 = 0। इसके गुणनखंड (y-3)(y-5)=0 हैं। इसलिए, x^4 - 8x² + 15 = (x² - 3)(x² - 5)। इस प्रकार, f'(x) = 0 के हल x = 0, x = ±√3, x = ±√5 हैं।

हम x^4 - 8x² + 15 को गुणनखंडित करते हैं। यह एक द्विघात समीकरण है यदि हम y = x² मानते हैं, तो y² - 8y + 15 = 0। इसके गुणनखंड (y-3)(y-5)=0 हैं। इसलिए, x^4 - 8x² + 15 = (x² - 3)(x² - 5)। इस प्रकार, f'(x) = 0 के हल x = 0, x = ±√3, x = ±√5 हैं।

विश्लेषण के आधार पर, हमें 3 स्थानीय अधिकतम बिंदु (x = -√5, 0, √5) और 2 स्थानीय न्यूनतम बिंदु (x = -√3, √3) मिलते हैं।

विश्लेषण के आधार पर, हमें 3 स्थानीय अधिकतम बिंदु (x = -√5, 0, √5) और 2 स्थानीय न्यूनतम बिंदु (x = -√3, √3) मिलते हैं।

Let $f(x)=\int_0^{x^2} \frac{t^2-8t+15}{e^t} dt, x \in \mathbb{R}$ . Then the numbers of local maximum and local minimum points of $f$ , respectively, are:

Answer: स्थानीय अधिकतम बिंदुओं की संख्या 3 है और स्थानीय न्यूनतम बिंदुओं की संख्या 2 है।

Step-by-step solution

Step 1: फलन का अवकलन ज्ञात करना

स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए, हमें पहले फलन $f(x)$ का अवकलन $f'(x)$ ज्ञात करना होगा। हम समाकलन के लेबनीज नियम का उपयोग करेंगे, जो कहता है कि यदि $F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} g(t) dt$ है, तो $F'(x) = g(b(x)) \cdot b'(x) - g(a(x)) \cdot a'(x)$ । यहाँ $a(x) = 0$ और $b(x) = x^2$ है।

Step 2: अवकलन को सरल करना

पिछले चरण में प्राप्त अवकलन को सरल करने पर, हमें $f'(x)$ का मान प्राप्त होता है। यहाँ $e^{x^2}$ हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए $f'(x)$ का चिन्ह $2x(x^4 - 8x^2 + 15)$ के चिन्ह पर निर्भर करेगा।

Step 3: स्थानीय चरम बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ सेट करना

स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम बिंदु उन स्थानों पर होते हैं जहाँ $f'(x) = 0$ होता है। इसलिए, हम $f'(x)$ को शून्य के बराबर सेट करते हैं और $x$ के मानों को हल करते हैं।

Step 4: समीकरण को हल करना

हम $x^4 - 8x^2 + 15$ को गुणनखंडित करते हैं। यह एक द्विघात समीकरण है यदि हम $y = x^2$ मानते हैं, तो $y^2 - 8y + 15 = 0$ । इसके गुणनखंड $(y-3)(y-5)=0$ हैं। इसलिए, $x^4 - 8x^2 + 15 = (x^2 - 3)(x^2 - 5)$ । इस प्रकार, $f'(x) = 0$ के हल $x = 0, x = \pm\sqrt{3}, x = \pm\sqrt{5}$ हैं।

Step 5: चिन्ह परिवर्तन का विश्लेषण करना

हम $f'(x)$ के चिन्ह का विश्लेषण करते हैं ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु पर फलन बढ़ रहा है या घट रहा है। - $x = -\sqrt{5}$ : $f'(x)$ का चिन्ह $+$ से $-$ में बदलता है, इसलिए यह एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है। - $x = -\sqrt{3}$ : $f'(x)$ का चिन्ह $-$ से $+$ में बदलता है, इसलिए यह एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है। - $x = 0$ : $f'(x)$ का चिन्ह $+$ से $-$ में बदलता है, इसलिए यह एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है। - $x = \sqrt{3}$ : $f'(x)$ का चिन्ह $-$ से $+$ में बदलता है, इसलिए यह एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है। - $x = \sqrt{5}$ : $f'(x)$ का चिन्ह $+$ से $-$ में बदलता है, इसलिए यह एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है।

Step 6: स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं की संख्या

विश्लेषण के आधार पर, हमें 3 स्थानीय अधिकतम बिंदु ( $x = -\sqrt{5}, 0, \sqrt{5}$ ) और 2 स्थानीय न्यूनतम बिंदु ( $x = -\sqrt{3}, \sqrt{3}$ ) मिलते हैं।

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Let f(x)=∫0x2t2−8t+15etdt,x∈Rf(x)=\int_0^{x^2} \frac{t^2-8t+15}{e^t} dt, x \in \mathbb{R}f(x)=∫0x2​ett2−8t+15​dt,x∈R. Then the numbers of local maximum and local minimum points of fff, respectively, are: