Let f(x)=∫0x2ett2−8t+15dt,x∈R. Then the numbers of local maximum and local minimum points of f, respectively, are:
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Step-by-Step Solution
Step 1: फलन का अवकलन ज्ञात करना
स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए, हमें पहले फलन f(x) का अवकलन f'(x) ज्ञात करना होगा। हम समाकलन के लेबनीज नियम का उपयोग करेंगे, जो कहता है कि यदि F(x)=∫a(x)b(x)g(t)dt है, तो F′(x)=g(b(x))⋅b′(x)−g(a(x))⋅a′(x) । यहाँ a(x)=0 और b(x)=x2 है।
Step 2: अवकलन को सरल करना
पिछले चरण में प्राप्त अवकलन को सरल करने पर, हमें f'(x) का मान प्राप्त होता है। यहाँ ex2 हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए f'(x) का चिन्ह 2x(x4−8x2+15) के चिन्ह पर निर्भर करेगा।
Step 3: स्थानीय चरम बिंदुओं के लिए f′(x)=0 सेट करना
स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम बिंदु उन स्थानों पर होते हैं जहाँ f′(x)=0 होता है। इसलिए, हम f'(x) को शून्य के बराबर सेट करते हैं और x के मानों को हल करते हैं।
Step 4: समीकरण को हल करना
हम x4−8x2+15 को गुणनखंडित करते हैं। यह एक द्विघात समीकरण है यदि हम y=x2 मानते हैं, तो y2−8y+15=0 । इसके गुणनखंड (y−3)(y−5)=0 हैं। इसलिए, x4−8x2+15=(x2−3)(x2−5) । इस प्रकार, f′(x)=0 के हल x=0,x=±3,x=±5 हैं।
Step 5: चिन्ह परिवर्तन का विश्लेषण करना
हम f'(x) के चिन्ह का विश्लेषण करते हैं ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु पर फलन बढ़ रहा है या घट रहा है।
- x=−5: f'(x) का चिन्ह + से − में बदलता है, इसलिए यह एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
- x=−3: f'(x) का चिन्ह − से + में बदलता है, इसलिए यह एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
- x=0: f'(x) का चिन्ह + से − में बदलता है, इसलिए यह एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
- x=3: f'(x) का चिन्ह − से + में बदलता है, इसलिए यह एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
- x=5: f'(x) का चिन्ह + से − में बदलता है, इसलिए यह एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
Step 6: स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं की संख्या
विश्लेषण के आधार पर, हमें 3 स्थानीय अधिकतम बिंदु (x=−5,0,5) और 2 स्थानीय न्यूनतम बिंदु (x=−3,3) मिलते हैं।