Let f(x)=log⁡exf(x) = \log_e x and g(x)=x4−2x3+3x2−2x+22x2−2x+1g(x) = \frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2}{2x^2 - 2x + 1}. Then the domain of f∘gf \circ g is

Answer: फलन f∘gf \circ g का डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं का सेट है, अर्थात (−∞,∞)(-\infty, \infty) या R\mathbb{R} ।

Step-by-step solution

Step 1: फलन f∘gf \circ g की परिभाषा

फलन f∘gf \circ g को f(g(x))f(g(x)) के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसका मतलब है कि हम पहले g(x)g(x) का मान ज्ञात करते हैं और फिर उस मान को f(x)f(x) में इनपुट के रूप में उपयोग करते हैं।

Step 2: फलन f(x)f(x) के डोमेन की शर्त

फलन f(x)=log⁡exf(x) = \log_e x के डोमेन के लिए, लघुगणक का तर्क हमेशा धनात्मक होना चाहिए। इसलिए, x>0x > 0 होना चाहिए।

Step 3: फलन f∘gf \circ g के डोमेन की शर्त

चूंकि (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)), फलन f∘gf \circ g के डोमेन के लिए, g(x)g(x) का मान ff के डोमेन में होना चाहिए। इसका मतलब है कि g(x)>0g(x) > 0 होना चाहिए।

Step 4: g(x)g(x) को सरल बनाना

हम g(x)g(x) को सरल बनाने के लिए बहुपद विभाजन का उपयोग करते हैं। अंश को x2(2x2−2x+1)x^2(2x^2 - 2x + 1) और शेषफल के रूप में लिखा जा सकता है।

Step 5: g(x)g(x) का आगे सरलीकरण

बहुपद विभाजन जारी रखते हुए, हम g(x)g(x) को x2+x2−2x+22x2−2x+1x^2 + \frac{x^2 - 2x + 2}{2x^2 - 2x + 1} के रूप में लिख सकते हैं।

Step 6: हर का विश्लेषण

हर 2x2−2x+12x^2 - 2x + 1 को पूर्ण वर्ग बनाकर सरल किया जा सकता है। यह हमेशा धनात्मक होता है क्योंकि (x−1/2)2≥0(x - 1/2)^2 \ge 0 है, इसलिए 2(x−1/2)2+1/2≥1/2>02(x - 1/2)^2 + 1/2 \ge 1/2 > 0 ।

Step 7: अंश का विश्लेषण

अंश x2−2x+2x^2 - 2x + 2 को भी पूर्ण वर्ग बनाकर सरल किया जा सकता है। यह हमेशा धनात्मक होता है क्योंकि (x−1)2≥0(x - 1)^2 \ge 0 है, इसलिए (x−1)2+1≥1>0(x - 1)^2 + 1 \ge 1 > 0 ।

Step 8: g(x)g(x) के डोमेन का निर्धारण

चूंकि x2≥0x^2 \ge 0, (x−1)2+1>0(x - 1)^2 + 1 > 0 और 2(x−1/2)2+1/2>02(x - 1/2)^2 + 1/2 > 0, इसलिए g(x)g(x) हमेशा धनात्मक होता है। इसके अलावा, हर कभी शून्य नहीं होता है, इसलिए g(x)g(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।

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