Let a^\hat{a} be a unit vector perpendicular to the vectors b⃗=i^−2j^+3k^\vec{b}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k} and c⃗=2i^+3j^−k^\vec{c}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}, and makes an angle of cos⁡−1(−13)\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) with the vector i^+j^+k^\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}. If a^\hat{a} makes an angle of π3\frac{\pi}{3} with the vector i^+αj^+k^\hat{i}+\alpha\hat{j}+\hat{k}, then the value of α\alpha is:

Answer: α=−6\alpha = -\sqrt{6}

Step-by-step solution

Step 1: सदिश a^\hat{a} ज्ञात करना

चूंकि सदिश a^\hat{a} सदिश b⃗\vec{b} और c⃗\vec{c} दोनों के लंबवत है, इसलिए a^\hat{a} सदिश b⃗×c⃗\vec{b} \times \vec{c} के समानांतर होगा। a^\hat{a} एक इकाई सदिश है, इसलिए हम इसे b⃗×c⃗\vec{b} \times \vec{c} के इकाई सदिश के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

Step 2: क्रॉस उत्पाद और उसका परिमाण ज्ञात करना

पहले, हम सदिश b⃗\vec{b} और c⃗\vec{c} का क्रॉस उत्पाद ज्ञात करते हैं। फिर, हम इस क्रॉस उत्पाद का परिमाण ज्ञात करते हैं ताकि हम इकाई सदिश a^\hat{a} को निर्धारित कर सकें।

Step 3: सदिश a^\hat{a} के लिए सही चिह्न का निर्धारण

अब, हम a^\hat{a} के लिए सही चिह्न का निर्धारण करने के लिए दी गई कोण की जानकारी का उपयोग करते हैं। सदिश i^+j^+k^\hat{i}+\hat{j}+\hat{k} के साथ a^\hat{a} का डॉट उत्पाद −1/3-1/\sqrt{3} होना चाहिए। इस शर्त को पूरा करने वाला a^\hat{a} का मान 13(i^−j^−k^)\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) है।

Step 4: α\alpha का मान ज्ञात करना

अंत में, हम सदिश i^+αj^+k^\hat{i}+\alpha\hat{j}+\hat{k} के साथ a^\hat{a} द्वारा बनाए गए कोण की जानकारी का उपयोग करते हैं। डॉट उत्पाद सूत्र का उपयोग करके, हम α\alpha के लिए एक समीकरण स्थापित करते हैं और इसे हल करते हैं। चूंकि cos⁡(π3)=12\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} धनात्मक है, इसलिए a^⋅(i^+αj^+k^)\hat{a} \cdot (\hat{i}+\alpha\hat{j}+\hat{k}) भी धनात्मक होना चाहिए। −α3>0  ⟹  α<0-\frac{\alpha}{\sqrt{3}} > 0 \implies \alpha < 0 इसलिए, α=−6\alpha = -\sqrt{6} ।

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