Let a^ be a unit vector perpendicular to the vectors b=i^−2j^+3k^ and c=2i^+3j^−k^, and makes an angle of cos−1(−31) with the vector i^+j^+k^. If a^ makes an angle of 3π with the vector i^+αj^+k^, then the value of α is:
Get the complete, step-by-step math solution for: "Let {a} be a unit vector perpendicular to the vectors {b}= {i}-2 {j}+3 {k} and {c}=2 {i}+3 {j}- {k}, and makes an angle of cos^{-1}-(1)/(3) with the v...". Powered by SolveForX AI math tutor.
Step-by-Step Solution
Step 1: सदिश a^ ज्ञात करना
चूंकि सदिश a^ सदिश b और c दोनों के लंबवत है, इसलिए a^ सदिश b×c के समानांतर होगा। a^ एक इकाई सदिश है, इसलिए हम इसे b×c के इकाई सदिश के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
Step 2: क्रॉस उत्पाद और उसका परिमाण ज्ञात करना
पहले, हम सदिश b और c का क्रॉस उत्पाद ज्ञात करते हैं। फिर, हम इस क्रॉस उत्पाद का परिमाण ज्ञात करते हैं ताकि हम इकाई सदिश a^ को निर्धारित कर सकें।
Step 3: सदिश a^ के लिए सही चिह्न का निर्धारण
अब, हम a^ के लिए सही चिह्न का निर्धारण करने के लिए दी गई कोण की जानकारी का उपयोग करते हैं। सदिश i^+j^+k^ के साथ a^ का डॉट उत्पाद −1/3 होना चाहिए। इस शर्त को पूरा करने वाला a^ का मान 31(i^−j^−k^) है।
Step 4: α का मान ज्ञात करना
अंत में, हम सदिश i^+αj^+k^ के साथ a^ द्वारा बनाए गए कोण की जानकारी का उपयोग करते हैं। डॉट उत्पाद सूत्र का उपयोग करके, हम α के लिए एक समीकरण स्थापित करते हैं और इसे हल करते हैं। चूंकि cos(3π)=21 धनात्मक है, इसलिए a^⋅(i^+αj^+k^) भी धनात्मक होना चाहिए। −3α>0⟹α<0 इसलिए, α=−6 ।