Let in a △ABC\triangle ABC, the length of the side ACAC be 6, the vertex BB be (1,2,3)(1{,}2{,}3) and the vertices A,CA, C lie on the line x−63=y−72=z−72\frac{x-6}{3} = \frac{y-7}{2} = \frac{z-7}{2}. Then the area (in sq. units) of △ABC\triangle ABC is:

Answer: 356117\frac{3\sqrt{561}}{17} वर्ग इकाई

Step-by-step solution

Step 1: रेखा का समीकरण ज्ञात करना

सबसे पहले, हम उस रेखा का समीकरण ज्ञात करेंगे जिस पर बिंदु AA और CC स्थित हैं। हम रेखा के समीकरण को एक पैरामीट्रिक रूप में व्यक्त करते हैं, जहाँ λ\lambda एक स्केलर है।

Step 2: बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात करना

हम रेखा LL पर एक सामान्य बिंदु PP के निर्देशांक (3λ+6,2λ+7,2λ+7)(3\lambda+6, 2\lambda+7, 2\lambda+7) मानते हैं। बिंदु BB से रेखा LL पर लंबवत दूरी ज्ञात करने के लिए, हम BPBP को रेखा LL के दिशा सदिश d⃗=(3,2,2)\vec{d} = (3{,}2{,}2) के लंबवत सेट करते हैं।

Step 3: लंबवत बिंदु P के लिए λ\lambda का मान ज्ञात करना

लंबवत स्थिति का उपयोग करके, हम λ\lambda के लिए समीकरण को हल करते हैं। यह हमें उस बिंदु PP के लिए λ\lambda का मान देता है जहाँ BPBP रेखा LL के लंबवत है।

Step 4: ऊंचाई BP की गणना करना

अब जब हमारे पास λ\lambda का मान है, तो हम बिंदु PP के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं। फिर हम बिंदु BB और PP के बीच की दूरी की गणना करते हैं, जो त्रिभुज की ऊंचाई hh है।

Step 5: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र 12×आधार×ऊंचाई\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} का उपयोग करते हैं। आधार ACAC की लंबाई 6 दी गई है, और हमने ऊंचाई BPBP की गणना की है।

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