Let ∣z−z‾2z+z‾∣=13\left| \frac{z - \overline{z}}{2z + \overline{z}} \right| = \frac{1}{3}, z∈Cz \in \mathbb{C}, be the equation of a circle with center at CC. If the area of the triangle, whose vertices are at the points (0,0)(0, 0), CC and (α,0)(\alpha, 0) is 11 square units, then α2\alpha^2 equals

Answer: दिए गए समीकरण ∣z−z‾2z+z‾∣=13\left| \frac{z - \overline{z}}{2z + \overline{z}} \right| = \frac{1}{3} एक वृत्त का समीकरण नहीं है। यह 9x2−35y2=09x^2 - 35y^2 = 0 के रूप में दो रेखाओं का समीकरण है। इसलिए, वृत्त का केंद्र CC और त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना संभव नहीं है जैसा कि प्रश्न में दिया गया है। प्रश्न में त्रुटि है।

Step-by-step solution

Step 1: जटिल संख्या zz को x+iyx + iy के रूप में व्यक्त करें

हम जटिल संख्या zz को उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों के रूप में व्यक्त करते हैं, जहाँ xx वास्तविक भाग है और yy काल्पनिक भाग है। इससे हमें दिए गए समीकरण को सरल बनाने में मदद मिलेगी।

Step 2: दिए गए समीकरण को सरल करें

हमने z=x+iyz = x + iy और z‾=x−iy\overline{z} = x - iy का उपयोग करके दिए गए समीकरण को सरल किया। इससे हमें z−z‾2z+z‾=(x+iy)−(x−iy)2(x+iy)+(x−iy)=2iy2x+2iy+x−iy=2iy3x+iy\frac{z - \overline{z}}{2z + \overline{z}} = \frac{(x + iy) - (x - iy)}{2(x + iy) + (x - iy)} = \frac{2iy}{2x + 2iy + x - iy} = \frac{2iy}{3x + iy} प्राप्त हुआ।

Step 3: समीकरण को हल करके वृत्त का समीकरण ज्ञात करें

मापांक की परिभाषा का उपयोग करते हुए, ∣2iy3x+iy∣=∣2iy∣∣3x+iy∣=2∣y∣(3x)2+y2\left| \frac{2iy}{3x + iy} \right| = \frac{|2iy|}{|3x + iy|} = \frac{2|y|}{\sqrt{(3x)^2 + y^2}} । इसे 13\frac{1}{3} के बराबर रखने पर, हमें 6∣y∣=9x2+y26|y| = \sqrt{9x^2 + y^2} मिलता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 36y2=9x2+y236y^2 = 9x^2 + y^2 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 9x2−35y2=09x^2 - 35y^2 = 0 मिलता है। यह एक वृत्त का समीकरण नहीं है, बल्कि दो रेखाओं का समीकरण है। प्रश्न में त्रुटि हो सकती है, क्योंकि यह एक वृत्त का समीकरण नहीं है।

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