Let $m$ and $n$ , $(m<n)$ be two 2-digit numbers. Then the total number of pairs $(m,n)$ such that $\gcd(m,n)=6$ is:

Answer: 64

Step-by-step solution

Step 1: 2-अंकीय संख्याओं की पहचान करें

हमें $m$ और $n$ दो 2-अंकीय संख्याएँ दी गई हैं, जहाँ $m < n$ और उनका महत्तम समापवर्तक (GCD) 6 है। इसका मतलब है कि $m$ और $n$ दोनों 6 के गुणज होने चाहिए। इसलिए, हम $m = 6a$ और $n = 6b$ के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं (अर्थात $\gcd(a,b)=1$ ) और $a < b$ है।

Step 2: a और b के लिए सीमाएँ निर्धारित करें

चूंकि $m$ और $n$ दोनों 2-अंकीय संख्याएँ हैं, वे 10 से 99 के बीच होनी चाहिए। इन सीमाओं को $6a$ और $6b$ पर लागू करने पर, हमें $a$ और $b$ के लिए संभावित मान मिलते हैं। $a$ और $b$ दोनों 2 से 16 तक की पूर्णांक संख्याएँ हो सकती हैं।

Step 3: a के संभावित मानों पर विचार करें

चूंकि $a < b$ और $b$ का अधिकतम मान 16 है, $a$ का अधिकतम मान 15 हो सकता है। इसलिए, $a$ के संभावित मान 2 से 15 तक हैं। हम प्रत्येक $a$ के लिए $b$ के संभावित मानों की गणना करेंगे।

Step 4: जोड़ों की गणना करें

हम $a$ के प्रत्येक मान के लिए $b$ के उन मानों को सूचीबद्ध करते हैं जो $a < b \le 16$ और $\gcd(a,b)=1$ की शर्तों को पूरा करते हैं। फिर हम प्रत्येक $a$ के लिए ऐसे $b$ के मानों की संख्या गिनते हैं। अंत में, हम सभी संख्याओं को जोड़ते हैं।

Step 5: कुल जोड़ों की संख्या

सभी संभावित जोड़ों की संख्या की गणना करने के लिए, हम प्रत्येक $a$ के लिए पाए गए सह-अभाज्य $b$ मानों की संख्या को जोड़ते हैं।

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Let mmm and nnn, (m<n)(m<n)(m<n) be two 2-digit numbers. Then the total number of pairs (m,n)(m,n)(m,n) such that gcd⁡(m,n)=6\gcd(m,n)=6gcd(m,n)=6 is: