Let m and n, (m<n) be two 2-digit numbers. Then the total number of pairs (m,n) such that gcd(m,n)=6 is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: 2-अंकीय संख्याओं की पहचान करें
हमें m और n दो 2-अंकीय संख्याएँ दी गई हैं, जहाँ m < n और उनका महत्तम समापवर्तक (GCD) 6 है। इसका मतलब है कि m और n दोनों 6 के गुणज होने चाहिए। इसलिए, हम m=6a और n=6b के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ a और b सह-अभाज्य संख्याएँ हैं (अर्थात gcd(a,b)=1) और a < b है।
Step 2: a और b के लिए सीमाएँ निर्धारित करें
चूंकि m और n दोनों 2-अंकीय संख्याएँ हैं, वे 10 से 99 के बीच होनी चाहिए। इन सीमाओं को 6a और 6b पर लागू करने पर, हमें a और b के लिए संभावित मान मिलते हैं। a और b दोनों 2 से 16 तक की पूर्णांक संख्याएँ हो सकती हैं।
Step 3: a के संभावित मानों पर विचार करें
चूंकि a < b और b का अधिकतम मान 16 है, a का अधिकतम मान 15 हो सकता है। इसलिए, a के संभावित मान 2 से 15 तक हैं। हम प्रत्येक a के लिए b के संभावित मानों की गणना करेंगे।
Step 4: जोड़ों की गणना करें
हम a के प्रत्येक मान के लिए b के उन मानों को सूचीबद्ध करते हैं जो a<b≤16 और gcd(a,b)=1 की शर्तों को पूरा करते हैं। फिर हम प्रत्येक a के लिए ऐसे b के मानों की संख्या गिनते हैं। अंत में, हम सभी संख्याओं को जोड़ते हैं।
Step 5: कुल जोड़ों की संख्या
सभी संभावित जोड़ों की संख्या की गणना करने के लिए, हम प्रत्येक a के लिए पाए गए सह-अभाज्य b मानों की संख्या को जोड़ते हैं।