Let A={1,2,3,4} and B={1,4,9,16}. Then the number of many-one functions f:A→B such that 1∈f(A) is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: कुल फलनों की संख्या ज्ञात करें
समुच्चय A में 4 अवयव हैं और समुच्चय B में भी 4 अवयव हैं। A से B तक के कुल फलनों की संख्या B के अवयवों की संख्या की घात A के अवयवों की संख्या के बराबर होती है।
Step 2: उन फलनों की संख्या ज्ञात करें जिनमें 1, f(A) में नहीं है
हमें उन फलनों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ 1∈f(A) है। इसका मतलब है कि 1 कम से कम एक बार A के किसी अवयव का प्रतिबिंब होना चाहिए। इसे ज्ञात करने के लिए, हम कुल फलनों की संख्या में से उन फलनों की संख्या घटाते हैं जहाँ 1 किसी भी अवयव का प्रतिबिंब नहीं है। यदि 1 प्रतिबिंब नहीं है, तो फलन A से B∖{1} तक मैप करता है, जिसमें 3 अवयव होते हैं।
Step 3: उन फलनों की संख्या ज्ञात करें जिनमें 1∈f(A) है
उन फलनों की संख्या जहाँ 1∈f(A) है, कुल फलनों की संख्या में से उन फलनों की संख्या को घटाकर प्राप्त की जाती है जहाँ 1 प्रतिबिंबों के समुच्चय में नहीं है।
Step 4: एकैकी फलनों की संख्या ज्ञात करें
एकैकी फलन वह होता है जहाँ A के प्रत्येक भिन्न अवयव का B में भिन्न प्रतिबिंब होता है। A से B तक के एकैकी फलनों की संख्या क्रमचय P(|B|, |A|) द्वारा दी जाती है।
Step 5: बहु-एक फलनों की संख्या ज्ञात करें
बहु-एक फलन वह होता है जहाँ A के कम से कम दो भिन्न अवयवों का B में समान प्रतिबिंब होता है। बहु-एक फलनों की संख्या कुल फलनों की संख्या में से एकैकी फलनों की संख्या को घटाकर प्राप्त की जाती है।
Step 6: वांछित बहु-एक फलनों की संख्या ज्ञात करें
हमें उन बहु-एक फलनों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ 1∈f(A) है। यह उन सभी फलनों की संख्या में से उन एकैकी फलनों की संख्या को घटाकर प्राप्त किया जाता है जहाँ 1∈f(A) है। चूंकि A और B दोनों में 4 अवयव हैं, यदि 1∈f(A) है और फलन एकैकी है, तो 1 को A के किसी एक अवयव का प्रतिबिंब होना ही होगा। इसलिए, A से B तक के सभी एकैकी फलनों में 1∈f(A) होगा।