हमें उन बहु-एक फलनों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ 1 f(A) है। यह उन सभी फलनों की संख्या में से उन एकैकी फलनों की संख्या को घटाकर प्राप्त किया जाता है जहाँ 1 f(A) है। चूंकि A और B दोनों में 4 अवयव हैं, यदि 1 f(A) है और फलन एकैकी है, तो 1 को A के किसी एक अवयव का प्रतिबिंब होना ही होगा। इसलिए, A से B तक के सभी एकैकी फलनों में 1 f(A) होगा।

हमें उन बहु-एक फलनों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ 1 f(A) है। यह उन सभी फलनों की संख्या में से उन एकैकी फलनों की संख्या को घटाकर प्राप्त किया जाता है जहाँ 1 f(A) है। चूंकि A और B दोनों में 4 अवयव हैं, यदि 1 f(A) है और फलन एकैकी है, तो 1 को A के किसी एक अवयव का प्रतिबिंब होना ही होगा। इसलिए, A से B तक के सभी एकैकी फलनों में 1 f(A) होगा।

Let $\mathbf{A}=\{1{,}2{,}3{,}4\}$ and $\mathbf{B}=\{1{,}4{,}9{,}16\}$ . Then the number of many-one functions $f: \mathbf{A} \to \mathbf{B}$ such that $1 \in f(\mathbf{A})$ is equal to:

Answer: 151

Step-by-step solution

Step 1: कुल फलनों की संख्या ज्ञात करें

समुच्चय $A$ में 4 अवयव हैं और समुच्चय $B$ में भी 4 अवयव हैं। $A$ से $B$ तक के कुल फलनों की संख्या $B$ के अवयवों की संख्या की घात $A$ के अवयवों की संख्या के बराबर होती है।

Step 2: उन फलनों की संख्या ज्ञात करें जिनमें 1, $f(A)$ में नहीं है

हमें उन फलनों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ $1 \in f(A)$ है। इसका मतलब है कि $1$ कम से कम एक बार $A$ के किसी अवयव का प्रतिबिंब होना चाहिए। इसे ज्ञात करने के लिए, हम कुल फलनों की संख्या में से उन फलनों की संख्या घटाते हैं जहाँ $1$ किसी भी अवयव का प्रतिबिंब नहीं है। यदि $1$ प्रतिबिंब नहीं है, तो फलन $A$ से $B \setminus \{1\}$ तक मैप करता है, जिसमें $3$ अवयव होते हैं।

Step 3: उन फलनों की संख्या ज्ञात करें जिनमें $1 \in f(A)$ है

उन फलनों की संख्या जहाँ $1 \in f(A)$ है, कुल फलनों की संख्या में से उन फलनों की संख्या को घटाकर प्राप्त की जाती है जहाँ $1$ प्रतिबिंबों के समुच्चय में नहीं है।

Step 4: एकैकी फलनों की संख्या ज्ञात करें

एकैकी फलन वह होता है जहाँ $A$ के प्रत्येक भिन्न अवयव का $B$ में भिन्न प्रतिबिंब होता है। $A$ से $B$ तक के एकैकी फलनों की संख्या क्रमचय $P(|B|, |A|)$ द्वारा दी जाती है।

Step 5: बहु-एक फलनों की संख्या ज्ञात करें

बहु-एक फलन वह होता है जहाँ $A$ के कम से कम दो भिन्न अवयवों का $B$ में समान प्रतिबिंब होता है। बहु-एक फलनों की संख्या कुल फलनों की संख्या में से एकैकी फलनों की संख्या को घटाकर प्राप्त की जाती है।

Step 6: वांछित बहु-एक फलनों की संख्या ज्ञात करें

हमें उन बहु-एक फलनों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ $1 \in f(A)$ है। यह उन सभी फलनों की संख्या में से उन एकैकी फलनों की संख्या को घटाकर प्राप्त किया जाता है जहाँ $1 \in f(A)$ है। चूंकि $A$ और $B$ दोनों में 4 अवयव हैं, यदि $1 \in f(A)$ है और फलन एकैकी है, तो $1$ को $A$ के किसी एक अवयव का प्रतिबिंब होना ही होगा। इसलिए, $A$ से $B$ तक के सभी एकैकी फलनों में $1 \in f(A)$ होगा।

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Let A={1,2,3,4}\mathbf{A}=\{1{,}2{,}3{,}4\}A={1,2,3,4} and B={1,4,9,16}\mathbf{B}=\{1{,}4{,}9{,}16\}B={1,4,9,16}. Then the number of many-one functions f:A→Bf: \mathbf{A} \to \mathbf{B}f:A→B such that 1∈f(A)1 \in f(\mathbf{A})1∈f(A) is equal to: