सबसे पहले, हमें दिए गए समुच्चयों A और B को समझना होगा। समुच्चय A उन सभी बिंदुओं (x, y) को दर्शाता है जहाँ x+y का निरपेक्ष मान 3 के बराबर या उससे अधिक है। इसका मतलब है कि x+y ≥ 3 या x+y ≤ -3। समुच्चय B उन सभी बिंदुओं (x, y) को दर्शाता है जहाँ |x|+|y| का योग 3 के बराबर या उससे कम है। यह एक वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है जिसके कोने (3,0), (0,3), (-3,0), (0,-3) पर हैं।

सबसे पहले, हमें दिए गए समुच्चयों A और B को समझना होगा। समुच्चय A उन सभी बिंदुओं (x, y) को दर्शाता है जहाँ x+y का निरपेक्ष मान 3 के बराबर या उससे अधिक है। इसका मतलब है कि x+y ≥ 3 या x+y ≤ -3। समुच्चय B उन सभी बिंदुओं (x, y) को दर्शाता है जहाँ |x|+|y| का योग 3 के बराबर या उससे कम है। यह एक वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है जिसके कोने (3,0), (0,3), (-3,0), (0,-3) पर हैं।

Let $\mathbf{A}=\{(x, y) \in \mathbf{R} \times \mathbf{R} : |x+y| \geqslant 3\}$ and $\mathbf{B}=\{(x, y) \in \mathbf{R} \times \mathbf{R} : |x|+|y| \leq 3\}$ . If $\mathbf{C}=\{(x, y) \in \mathbf{A} \cap \mathbf{B} : x=0 \text{ or } y=0\}$ , then $\sum_{(x, y) \in \mathbf{C}}|x+y|$ is:

Answer: 12

Step-by-step solution

Step 1: समुच्चय A और B को समझना

सबसे पहले, हमें दिए गए समुच्चयों A और B को समझना होगा। समुच्चय A उन सभी बिंदुओं $(x, y)$ को दर्शाता है जहाँ $x+y$ का निरपेक्ष मान 3 के बराबर या उससे अधिक है। इसका मतलब है कि $x+y \ge 3$ या $x+y \le -3$ । समुच्चय B उन सभी बिंदुओं $(x, y)$ को दर्शाता है जहाँ $|x|+|y|$ का योग 3 के बराबर या उससे कम है। यह एक वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है जिसके कोने $(3{,}0), (0{,}3), (-3{,}0), (0,-3)$ पर हैं।

Step 2: समुच्चय C के लिए शर्तों को लागू करना

समुच्चय C उन बिंदुओं से बना है जो समुच्चय A और B दोनों में हैं, और जहाँ या तो $x=0$ या $y=0$ है। इसका मतलब है कि हमें उन बिंदुओं को खोजना होगा जो $x$ -अक्ष या $y$ -अक्ष पर स्थित हैं और जो समुच्चय A और B दोनों की शर्तों को पूरा करते हैं।

Step 3: जब $x=0$ हो

यदि $x=0$ है, तो समुच्चय A की शर्त $|0+y| \ge 3 \implies |y| \ge 3$ बन जाती है। समुच्चय B की शर्त $|0|+|y| \le 3 \implies |y| \le 3$ बन जाती है। इन दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने के लिए, $|y|$ को 3 के बराबर होना चाहिए। इसलिए, $y=3$ या $y=-3$ । इस प्रकार, हमें बिंदु $(0, 3)$ और $(0, -3)$ मिलते हैं।

Step 4: जब $y=0$ हो

यदि $y=0$ है, तो समुच्चय A की शर्त $|x+0| \ge 3 \implies |x| \ge 3$ बन जाती है। समुच्चय B की शर्त $|x|+|0| \le 3 \implies |x| \le 3$ बन जाती है। इन दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने के लिए, $|x|$ को 3 के बराबर होना चाहिए। इसलिए, $x=3$ या $x=-3$ । इस प्रकार, हमें बिंदु $(3, 0)$ और $(-3, 0)$ मिलते हैं।

Step 5: समुच्चय C के बिंदुओं का योग

समुच्चय C में वे बिंदु शामिल हैं जो हमने पिछले चरणों में पाए हैं: $(0, 3)$ , $(0, -3)$ , $(3, 0)$ , और $(-3, 0)$ । अब हमें इन सभी बिंदुओं के लिए $|x+y|$ का योग ज्ञात करना है।

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