Let A={(x,y)∈R×R:∣x+y∣⩾3} and B={(x,y)∈R×R:∣x∣+∣y∣≤3}. If C={(x,y)∈A∩B:x=0 or y=0}, then ∑(x,y)∈C∣x+y∣ is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: समुच्चय A और B को समझना
सबसे पहले, हमें दिए गए समुच्चयों A और B को समझना होगा। समुच्चय A उन सभी बिंदुओं (x, y) को दर्शाता है जहाँ x+y का निरपेक्ष मान 3 के बराबर या उससे अधिक है। इसका मतलब है कि x+y≥3 या x+y≤−3 । समुच्चय B उन सभी बिंदुओं (x, y) को दर्शाता है जहाँ |x|+|y| का योग 3 के बराबर या उससे कम है। यह एक वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है जिसके कोने (3,0),(0,3),(−3,0),(0,−3) पर हैं।
Step 2: समुच्चय C के लिए शर्तों को लागू करना
समुच्चय C उन बिंदुओं से बना है जो समुच्चय A और B दोनों में हैं, और जहाँ या तो x=0 या y=0 है। इसका मतलब है कि हमें उन बिंदुओं को खोजना होगा जो x -अक्ष या y -अक्ष पर स्थित हैं और जो समुच्चय A और B दोनों की शर्तों को पूरा करते हैं।
Step 3: जब x=0 हो
यदि x=0 है, तो समुच्चय A की शर्त ∣0+y∣≥3⟹∣y∣≥3 बन जाती है। समुच्चय B की शर्त ∣0∣+∣y∣≤3⟹∣y∣≤3 बन जाती है। इन दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने के लिए, ∣y∣ को 3 के बराबर होना चाहिए। इसलिए, y=3 या y=−3 । इस प्रकार, हमें बिंदु (0,3) और (0,−3) मिलते हैं।
Step 4: जब y=0 हो
यदि y=0 है, तो समुच्चय A की शर्त ∣x+0∣≥3⟹∣x∣≥3 बन जाती है। समुच्चय B की शर्त ∣x∣+∣0∣≤3⟹∣x∣≤3 बन जाती है। इन दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने के लिए, ∣x∣ को 3 के बराबर होना चाहिए। इसलिए, x=3 या x=−3 । इस प्रकार, हमें बिंदु (3,0) और (−3,0) मिलते हैं।
Step 5: समुच्चय C के बिंदुओं का योग
समुच्चय C में वे बिंदु शामिल हैं जो हमने पिछले चरणों में पाए हैं: (0,3), (0,−3), (3,0), और (−3,0) । अब हमें इन सभी बिंदुओं के लिए |x+y| का योग ज्ञात करना है।