दीर्घवृत्त E और अतिपरवलय H के लिए उत्केंद्रता के सूत्र क्रमशः e_E = √(1 - (b²)/(a²)) और e_H = √(1 + (B²)/(A²)) हैं। दीर्घवृत्त की नाभियाँ (± ae_E, 0) पर होती हैं और अतिपरवलय की नाभियाँ (± Ae_H, 0) पर होती हैं। नाभियों के बीच की दूरी 2ae_E - 2Ae_H = 2√3 दी गई है।

दीर्घवृत्त E और अतिपरवलय H के लिए उत्केंद्रता के सूत्र क्रमशः e_E = √(1 - (b²)/(a²)) और e_H = √(1 + (B²)/(A²)) हैं। दीर्घवृत्त की नाभियाँ (± ae_E, 0) पर होती हैं और अतिपरवलय की नाभियाँ (± Ae_H, 0) पर होती हैं। नाभियों के बीच की दूरी 2ae_E - 2Ae_H = 2√3 दी गई है।

नाभियों के बीच की दूरी के समीकरण को सरल करने पर हमें ae_E - Ae_H = √3 मिलता है। उत्केंद्रताओं का अनुपात (e_E)/(e_H) = (1)/(3) दिया गया है, जिससे e_H = 3e_E प्राप्त होता है। साथ ही, a - A = 2 दिया गया है, जिससे A = a - 2 प्राप्त होता है।

नाभियों के बीच की दूरी के समीकरण को सरल करने पर हमें ae_E - Ae_H = √3 मिलता है। उत्केंद्रताओं का अनुपात (e_E)/(e_H) = (1)/(3) दिया गया है, जिससे e_H = 3e_E प्राप्त होता है। साथ ही, a - A = 2 दिया गया है, जिससे A = a - 2 प्राप्त होता है।

समीकरण (2) और (3) से e_H और A के मानों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें ae_E - (a-2)(3e_E) = √3 मिलता है। इसे सरल करने पर e_E(6 - 2a) = √3 प्राप्त होता है।

समीकरण (2) और (3) से e_H और A के मानों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें ae_E - (a-2)(3e_E) = √3 मिलता है। इसे सरल करने पर e_E(6 - 2a) = √3 प्राप्त होता है।

दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के नाभिलंब की लंबाई के सूत्र क्रमशः L_E = (2b²)/(a) = 2a(1 - e_E²) और L_H = (2B²)/(A) = 2A(e_H² - 1) हैं।

दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के नाभिलंब की लंबाई के सूत्र क्रमशः L_E = (2b²)/(a) = 2a(1 - e_E²) और L_H = (2B²)/(A) = 2A(e_H² - 1) हैं।

Let $\mathbf{E}: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ and $\mathbf{H}: \frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ . Let the distance between the foci of $\mathbf{E}$ and the foci of $\mathbf{H}$ be $2\sqrt{3}$ . If $a - A = 2$ , and the ratio of the eccentricities of $\mathbf{E}$ and $\mathbf{H}$ is $\frac{1}{3}$ , then the sum of the lengths of their latus rectums is equal to:

Answer: दिए गए डेटा के साथ, $a$ और $e_E$ के लिए एक अद्वितीय समाधान नहीं है, इसलिए नाभिलंब की लंबाइयों का योग निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

Step-by-step solution

Step 1: उत्केंद्रता और नाभियों के बीच की दूरी ज्ञात करना

दीर्घवृत्त $\mathbf{E}$ और अतिपरवलय $\mathbf{H}$ के लिए उत्केंद्रता के सूत्र क्रमशः $e_E = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ और $e_H = \sqrt{1 + \frac{B^2}{A^2}}$ हैं। दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae_E, 0)$ पर होती हैं और अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm Ae_H, 0)$ पर होती हैं। नाभियों के बीच की दूरी $2ae_E - 2Ae_H = 2\sqrt{3}$ दी गई है।

Step 2: दिए गए संबंधों का उपयोग करना

नाभियों के बीच की दूरी के समीकरण को सरल करने पर हमें $ae_E - Ae_H = \sqrt{3}$ मिलता है। उत्केंद्रताओं का अनुपात $\frac{e_E}{e_H} = \frac{1}{3}$ दिया गया है, जिससे $e_H = 3e_E$ प्राप्त होता है। साथ ही, $a - A = 2$ दिया गया है, जिससे $A = a - 2$ प्राप्त होता है।

Step 3: चरों को हल करना

समीकरण (2) और (3) से $e_H$ और $A$ के मानों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $ae_E - (a-2)(3e_E) = \sqrt{3}$ मिलता है। इसे सरल करने पर $e_E(6 - 2a) = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

Step 4: नाभिलंब की लंबाई ज्ञात करना

दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के नाभिलंब की लंबाई के सूत्र क्रमशः $L_E = \frac{2b^2}{a} = 2a(1 - e_E^2)$ और $L_H = \frac{2B^2}{A} = 2A(e_H^2 - 1)$ हैं।

Step 5: नाभिलंब की लंबाइयों का योग

नाभिलंब की लंबाइयों का योग $L_E + L_H$ ज्ञात करने के लिए, हम $e_H = 3e_E$ और $A = a-2$ का उपयोग करते हुए सूत्रों को प्रतिस्थापित और सरल करते हैं।

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