Let E:a2x2+b2y2=1,a>b and H:A2x2−B2y2=1. Let the distance between the foci of E and the foci of H be 23. If a−A=2, and the ratio of the eccentricities of E and H is 31, then the sum of the lengths of their latus rectums is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: उत्केंद्रता और नाभियों के बीच की दूरी ज्ञात करना
दीर्घवृत्त E और अतिपरवलय H के लिए उत्केंद्रता के सूत्र क्रमशः eE=1−a2b2 और eH=1+A2B2 हैं। दीर्घवृत्त की नाभियाँ (±aeE,0) पर होती हैं और अतिपरवलय की नाभियाँ (±AeH,0) पर होती हैं। नाभियों के बीच की दूरी 2aeE−2AeH=23 दी गई है।
Step 2: दिए गए संबंधों का उपयोग करना
नाभियों के बीच की दूरी के समीकरण को सरल करने पर हमें aeE−AeH=3 मिलता है। उत्केंद्रताओं का अनुपात eHeE=31 दिया गया है, जिससे eH=3eE प्राप्त होता है। साथ ही, a−A=2 दिया गया है, जिससे A=a−2 प्राप्त होता है।
Step 3: चरों को हल करना
समीकरण (2) और (3) से eH और A के मानों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें aeE−(a−2)(3eE)=3 मिलता है। इसे सरल करने पर eE(6−2a)=3 प्राप्त होता है।
Step 4: नाभिलंब की लंबाई ज्ञात करना
दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के नाभिलंब की लंबाई के सूत्र क्रमशः LE=a2b2=2a(1−eE2) और LH=A2B2=2A(eH2−1) हैं।
Step 5: नाभिलंब की लंबाइयों का योग
नाभिलंब की लंबाइयों का योग LE+LH ज्ञात करने के लिए, हम eH=3eE और A=a−2 का उपयोग करते हुए सूत्रों को प्रतिस्थापित और सरल करते हैं।