Let R={(1,2),(2,3),(3,3)} be a relation defined on the set {1,2,3,4}. Then the minimum number of elements, needed to be added in R so that R becomes an equivalence relation, is
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Step-by-Step Solution
Step 1: तुल्यता संबंध की शर्तें
एक संबंध को तुल्यता संबंध होने के लिए तीन शर्तों को पूरा करना होता है: स्वतुल्यता, समरूपता और संक्रामकता। हम इन शर्तों को एक-एक करके जाँचेंगे और आवश्यक तत्वों को जोड़ेंगे।
Step 2: स्वतुल्यता के लिए आवश्यक तत्व जोड़ना
समुच्चय A={1,2,3,4} पर संबंध R को स्वतुल्य बनाने के लिए, हमें प्रत्येक तत्व a∈A के लिए (a, a) को R में जोड़ना होगा। दिए गए R में (3,3) पहले से मौजूद है। इसलिए, हमें (1,1), (2,2), और (4,4) को जोड़ना होगा।
Step 3: समरूपता के लिए आवश्यक तत्व जोड़ना
संबंध को सममित बनाने के लिए, यदि (a,b)∈R है, तो (b, a) भी R में होना चाहिए। हमारे पास (1,2)∈R है, इसलिए हमें (2,1) जोड़ना होगा। हमारे पास (2,3)∈R है, इसलिए हमें (3,2) जोड़ना होगा।
Step 4: संक्रामकता के लिए आवश्यक तत्व जोड़ना
संक्रामक संबंध के लिए, यदि (a,b)∈R और (b,c)∈R है, तो (a, c) भी R में होना चाहिए।
1. (1,2)∈R और (2,3)∈R⟹(1,3)∈R (जोड़ें)
2. अब, समरूपता के लिए, यदि (1,3)∈R है, तो (3,1)∈R (जोड़ें)
अन्य सभी आवश्यक संक्रामक जोड़े पहले से ही जोड़े गए स्वतुल्य और सममित तत्वों के कारण संतुष्ट हो जाते हैं।
Step 5: जोड़े गए तत्वों की कुल संख्या
हमने स्वतुल्यता के लिए (1,1),(2,2),(4,4) जोड़े।
समरूपता के लिए (2,1),(3,2) जोड़े।
संक्रामकता के लिए (1,3) और (3,1) जोड़े।
कुल जोड़े गए अद्वितीय तत्व हैं: (1,1),(2,2),(4,4),(2,1),(3,2),(1,3),(3,1) ।
इनकी संख्या 7 है।