Let R={(1,2),(2,3),(3,3)}\mathbf{R} = \{(1, 2), (2, 3), (3, 3)\} be a relation defined on the set {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}. Then the minimum number of elements, needed to be added in R\mathbf{R} so that R\mathbf{R} becomes an equivalence relation, is

Answer: 7

Step-by-step solution

Step 1: तुल्यता संबंध की शर्तें

एक संबंध को तुल्यता संबंध होने के लिए तीन शर्तों को पूरा करना होता है: स्वतुल्यता, समरूपता और संक्रामकता। हम इन शर्तों को एक-एक करके जाँचेंगे और आवश्यक तत्वों को जोड़ेंगे।

Step 2: स्वतुल्यता के लिए आवश्यक तत्व जोड़ना

समुच्चय A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} पर संबंध RR को स्वतुल्य बनाने के लिए, हमें प्रत्येक तत्व a∈Aa \in A के लिए (a,a)(a, a) को RR में जोड़ना होगा। दिए गए RR में (3,3)(3, 3) पहले से मौजूद है। इसलिए, हमें (1,1)(1, 1), (2,2)(2, 2), और (4,4)(4, 4) को जोड़ना होगा।

Step 3: समरूपता के लिए आवश्यक तत्व जोड़ना

संबंध को सममित बनाने के लिए, यदि (a,b)∈R(a, b) \in R है, तो (b,a)(b, a) भी RR में होना चाहिए। हमारे पास (1,2)∈R(1, 2) \in R है, इसलिए हमें (2,1)(2, 1) जोड़ना होगा। हमारे पास (2,3)∈R(2, 3) \in R है, इसलिए हमें (3,2)(3, 2) जोड़ना होगा।

Step 4: संक्रामकता के लिए आवश्यक तत्व जोड़ना

संक्रामक संबंध के लिए, यदि (a,b)∈R(a, b) \in R और (b,c)∈R(b, c) \in R है, तो (a,c)(a, c) भी RR में होना चाहिए। 1. (1,2)∈R(1, 2) \in R और (2,3)∈R  ⟹  (1,3)∈R(2, 3) \in R \implies (1, 3) \in R (जोड़ें) 2. अब, समरूपता के लिए, यदि (1,3)∈R(1, 3) \in R है, तो (3,1)∈R(3, 1) \in R (जोड़ें) अन्य सभी आवश्यक संक्रामक जोड़े पहले से ही जोड़े गए स्वतुल्य और सममित तत्वों के कारण संतुष्ट हो जाते हैं।

Step 5: जोड़े गए तत्वों की कुल संख्या

हमने स्वतुल्यता के लिए (1,1),(2,2),(4,4)(1{,}1), (2{,}2), (4{,}4) जोड़े। समरूपता के लिए (2,1),(3,2)(2{,}1), (3{,}2) जोड़े। संक्रामकता के लिए (1,3)(1{,}3) और (3,1)(3{,}1) जोड़े। कुल जोड़े गए अद्वितीय तत्व हैं: (1,1),(2,2),(4,4),(2,1),(3,2),(1,3),(3,1)(1{,}1), (2{,}2), (4{,}4), (2{,}1), (3{,}2), (1{,}3), (3{,}1) । इनकी संख्या 7 है।

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