कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, A² - 2A + 1I = 0। इस समीकरण को (A-I)² = 0 के रूप में भी लिखा जा सकता है, जहाँ I एक तत्समक मैट्रिक्स है।

कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, A² - 2A + 1I = 0। इस समीकरण को (A-I)² = 0 के रूप में भी लिखा जा सकता है, जहाँ I एक तत्समक मैट्रिक्स है।

चूंकि (A-I)² = 0, हम द्विपद प्रमेय का उपयोग करके A^n के लिए एक पैटर्न ज्ञात कर सकते हैं। A^n = (I + (A-I))^n = I^n + nI^(n-1)(A-I) + (n(n-1))/(2)I^(n-2)(A-I)² +। चूंकि (A-I)² = 0, उच्चतर पद शून्य हो जाते हैं, जिससे A^n = I + n(A-I) प्राप्त होता है।

चूंकि (A-I)² = 0, हम द्विपद प्रमेय का उपयोग करके A^n के लिए एक पैटर्न ज्ञात कर सकते हैं। A^n = (I + (A-I))^n = I^n + nI^(n-1)(A-I) + (n(n-1))/(2)I^(n-2)(A-I)² +। चूंकि (A-I)² = 0, उच्चतर पद शून्य हो जाते हैं, जिससे A^n = I + n(A-I) प्राप्त होता है।

अब हम A^n = I + n(A-I) का उपयोग करके दिए गए समीकरण में A^m², A^m, और A^(-6) को प्रतिस्थापित करेंगे। A^(-6) = I - 6(A-I)।

अब हम A^n = I + n(A-I) का उपयोग करके दिए गए समीकरण में A^m², A^m, और A^(-6) को प्रतिस्थापित करेंगे। A^(-6) = I - 6(A-I)।

पिछले चरण से प्राप्त समीकरण को सरल करने पर, हम (m² + m)(A-I) = -I + 6(A-I) प्राप्त करते हैं।

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें (m² + m - 6)(A-I) = -I प्राप्त होता है। चूंकि A-I = [ cc 1 & -1 1 & -1 ] एक शून्य मैट्रिक्स नहीं है, और -I = [ cc -1 & 0 0 & -1 ] भी शून्य मैट्रिक्स नहीं है, इसलिए (m² + m - 6) को शून्य नहीं होना चाहिए। इस समीकरण को संतुष्ट करने के लिए, (A-I) को -I के समानुपाती होना चाहिए, जो कि नहीं है। इसलिए, इस समीकरण का कोई पूर्णांक हल नहीं है।

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें (m² + m - 6)(A-I) = -I प्राप्त होता है। चूंकि A-I = [ cc 1 & -1 1 & -1 ] एक शून्य मैट्रिक्स नहीं है, और -I = [ cc -1 & 0 0 & -1 ] भी शून्य मैट्रिक्स नहीं है, इसलिए (m² + m - 6) को शून्य नहीं होना चाहिए। इस समीकरण को संतुष्ट करने के लिए, (A-I) को -I के समानुपाती होना चाहिए, जो कि नहीं है। इसलिए, इस समीकरण का कोई पूर्णांक हल नहीं है।

Let $\mathbf{S} = \{m \in \mathbf{Z}: \mathbf{A}^{m^2} + \mathbf{A}^m = 3 \mathbf{I} - \mathbf{A}^{-6}\}$ , where $\mathbf{A} = \left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]$ . Then $n(\mathbf{S})$ is equal to

Answer: $n(\mathbf{S}) = 0$

Step-by-step solution

Step 1: कैली-हैमिल्टन प्रमेय का प्रयोग करें

सबसे पहले, हम दिए गए मैट्रिक्स $A$ के लिए कैली-हैमिल्टन प्रमेय का उपयोग करेंगे। इसके लिए हमें मैट्रिक्स $A$ का ट्रेस (विकर्ण के तत्वों का योग) और सारणिक (डिटर्मिनेंट) ज्ञात करना होगा। ट्रेस $2+0=2$ है और सारणिक $(2)(0) - (-1)(1) = 1$ है।

Step 2: कैली-हैमिल्टन समीकरण ज्ञात करें

कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, $A^2 - 2A + 1I = 0$ । इस समीकरण को $(A-I)^2 = 0$ के रूप में भी लिखा जा सकता है, जहाँ $I$ एक तत्समक मैट्रिक्स है।

Step 3: मैट्रिक्स A की घातों का पैटर्न ज्ञात करें

चूंकि $(A-I)^2 = 0$ , हम द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $A^n$ के लिए एक पैटर्न ज्ञात कर सकते हैं। $A^n = (I + (A-I))^n = I^n + nI^{n-1}(A-I) + \frac{n(n-1)}{2}I^{n-2}(A-I)^2 + \dots$ । चूंकि $(A-I)^2 = 0$ , उच्चतर पद शून्य हो जाते हैं, जिससे $A^n = I + n(A-I)$ प्राप्त होता है।

Step 4: दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करें

अब हम $A^n = I + n(A-I)$ का उपयोग करके दिए गए समीकरण में $A^{m^2}$ , $A^m$ , और $A^{-6}$ को प्रतिस्थापित करेंगे। $A^{-6} = I - 6(A-I)$ ।

Step 5: समीकरण को सरल करें

पिछले चरण से प्राप्त समीकरण को सरल करने पर, हम $(m^2 + m)(A-I) = -I + 6(A-I)$ प्राप्त करते हैं।

Step 6: m के लिए हल करें

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $(m^2 + m - 6)(A-I) = -I$ प्राप्त होता है। चूंकि $A-I = \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]$ एक शून्य मैट्रिक्स नहीं है, और $-I = \left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]$ भी शून्य मैट्रिक्स नहीं है, इसलिए $(m^2 + m - 6)$ को शून्य नहीं होना चाहिए। इस समीकरण को संतुष्ट करने के लिए, $(A-I)$ को $-I$ के समानुपाती होना चाहिए, जो कि नहीं है। इसलिए, इस समीकरण का कोई पूर्णांक हल नहीं है।

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