Let S={m∈Z:Am2+Am=3I−A−6}, where A=[21−10]. Then n(S) is equal to
Get the complete, step-by-step math solution for: "Let {S} = \{m {Z}: {A}^{m²} + {A}^m = 3 {I} - {A}^{-6}\}, where {A} = {cc} 2 & -1 \\ 1 & 0 . Then n( {S}) is equal to". Powered by SolveForX AI math tutor.
Step-by-Step Solution
Step 1: कैली-हैमिल्टन प्रमेय का प्रयोग करें
सबसे पहले, हम दिए गए मैट्रिक्स A के लिए कैली-हैमिल्टन प्रमेय का उपयोग करेंगे। इसके लिए हमें मैट्रिक्स A का ट्रेस (विकर्ण के तत्वों का योग) और सारणिक (डिटर्मिनेंट) ज्ञात करना होगा। ट्रेस 2+0=2 है और सारणिक (2)(0)−(−1)(1)=1 है।
Step 2: कैली-हैमिल्टन समीकरण ज्ञात करें
कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, A2−2A+1I=0 । इस समीकरण को (A−I)2=0 के रूप में भी लिखा जा सकता है, जहाँ I एक तत्समक मैट्रिक्स है।
Step 3: मैट्रिक्स A की घातों का पैटर्न ज्ञात करें
चूंकि (A−I)2=0, हम द्विपद प्रमेय का उपयोग करके An के लिए एक पैटर्न ज्ञात कर सकते हैं। An=(I+(A−I))n=In+nIn−1(A−I)+2n(n−1)In−2(A−I)2+… । चूंकि (A−I)2=0, उच्चतर पद शून्य हो जाते हैं, जिससे An=I+n(A−I) प्राप्त होता है।
Step 4: दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करें
अब हम An=I+n(A−I) का उपयोग करके दिए गए समीकरण में Am2, Am, और A−6 को प्रतिस्थापित करेंगे। A−6=I−6(A−I) ।
Step 5: समीकरण को सरल करें
पिछले चरण से प्राप्त समीकरण को सरल करने पर, हम (m2+m)(A−I)=−I+6(A−I) प्राप्त करते हैं।
Step 6: m के लिए हल करें
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें (m2+m−6)(A−I)=−I प्राप्त होता है। चूंकि A−I=[11−1−1] एक शून्य मैट्रिक्स नहीं है, और −I=[−100−1] भी शून्य मैट्रिक्स नहीं है, इसलिए (m2+m−6) को शून्य नहीं होना चाहिए। इस समीकरण को संतुष्ट करने के लिए, (A-I) को −I के समानुपाती होना चाहिए, जो कि नहीं है। इसलिए, इस समीकरण का कोई पूर्णांक हल नहीं है।