Let nCr−1=28, nCr=56 and nCr+1=70. Let A(4cost,4sint), B(2sint,−2cost) and C(3r−n,r2−n−1) be the vertices of a triangle ABC, where t is a parameter. If (3x−1)2+(3y)2=α, is the locus of the centroid of triangle ABC, then α equals
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Step-by-Step Solution
Step 1: n और r के मान ज्ञात करना
सबसे पहले, हम दिए गए संयोजन समीकरणों का उपयोग करके n और r के मान ज्ञात करेंगे। हम जानते हैं कि nCr/nCr−1=(n−r+1)/r और nCr+1/nCr=(n−r)/(r+1) । इन सूत्रों का उपयोग करके, हम दो समीकरण प्राप्त कर सकते हैं।
Step 2: समीकरणों को हल करना
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें दो रैखिक समीकरण मिलते हैं: n−3r=−1 और 4n−9r=5 । इन समीकरणों को हल करने के लिए, हम पहले समीकरण को 3 से गुणा करेंगे और फिर दूसरे समीकरण से घटा देंगे।
Step 3: n और r के मान ज्ञात करना
समीकरणों को हल करने पर, हमें n=8 और r=3 प्राप्त होता है। अब हम त्रिभुज के शीर्ष C के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।
Step 4: शीर्ष C के निर्देशांक ज्ञात करना
हमने n=8 और r=3 के मानों को C(3r−n,r2−n−1) में प्रतिस्थापित किया। इससे हमें C(1,0) प्राप्त होता है।
Step 5: त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात करना
त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक (x, y) शीर्षों के औसत से दिए जाते हैं। A(4cost,4sint), B(2sint,−2cost) और C(1,0) के निर्देशांकों का उपयोग करके, हम केंद्रक के x और y निर्देशांकों के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं।
Step 6: केंद्रक के बिंदुपथ का समीकरण ज्ञात करना
केंद्रक के x और y निर्देशांकों के व्यंजकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 3x−1=4cost+2sint और 3y=4sint−2cost प्राप्त होता है। इन दोनों समीकरणों के वर्गों को जोड़कर, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin2t+cos2t=1 का उपयोग करके t को समाप्त कर सकते हैं। इससे हमें (3x−1)2+(3y)2=20 प्राप्त होता है।
Step 7: अल्फा का मान ज्ञात करना
दिए गए बिंदुपथ समीकरण (3x−1)2+(3y)2=α की तुलना हमारे प्राप्त समीकरण (3x−1)2+(3y)2=20 से करने पर, हमें α=20 प्राप्त होता है।