हमने n=8 और r=3 के मानों को C(3r - n, r² - n - 1) में प्रतिस्थापित किया। इससे हमें C(1, 0) प्राप्त होता है।

हमने n=8 और r=3 के मानों को C(3r - n, r² - n - 1) में प्रतिस्थापित किया। इससे हमें C(1, 0) प्राप्त होता है।

दिए गए बिंदुपथ समीकरण (3x - 1)² + (3y)² = α की तुलना हमारे प्राप्त समीकरण (3x - 1)² + (3y)² = 20 से करने पर, हमें α = 20 प्राप्त होता है।

दिए गए बिंदुपथ समीकरण (3x - 1)² + (3y)² = α की तुलना हमारे प्राप्त समीकरण (3x - 1)² + (3y)² = 20 से करने पर, हमें α = 20 प्राप्त होता है।

Let ${}^n C_{r-1} = 28$ , ${}^n C_r = 56$ and ${}^n C_{r+1} = 70$ . Let $A(4 \cos t, 4 \sin t)$ , $B(2 \sin t, -2 \cos t)$ and $C(3r - n, r^2 - n - 1)$ be the vertices of a triangle $ABC$ , where $t$ is a parameter. If $(3x - 1)^2 + (3y)^2 = \alpha$ , is the locus of the centroid of triangle $ABC$ , then $\alpha$ equals

Answer: $\alpha = 20$

Step-by-step solution

Step 1: n और r के मान ज्ञात करना

सबसे पहले, हम दिए गए संयोजन समीकरणों का उपयोग करके $n$ और $r$ के मान ज्ञात करेंगे। हम जानते हैं कि ${}^n C_r / {}^n C_{r-1} = (n-r+1)/r$ और ${}^n C_{r+1} / {}^n C_r = (n-r)/(r+1)$ । इन सूत्रों का उपयोग करके, हम दो समीकरण प्राप्त कर सकते हैं।

Step 2: समीकरणों को हल करना

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें दो रैखिक समीकरण मिलते हैं: $n - 3r = -1$ और $4n - 9r = 5$ । इन समीकरणों को हल करने के लिए, हम पहले समीकरण को 3 से गुणा करेंगे और फिर दूसरे समीकरण से घटा देंगे।

Step 3: n और r के मान ज्ञात करना

समीकरणों को हल करने पर, हमें $n=8$ और $r=3$ प्राप्त होता है। अब हम त्रिभुज के शीर्ष $C$ के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।

Step 4: शीर्ष C के निर्देशांक ज्ञात करना

हमने $n=8$ और $r=3$ के मानों को $C(3r - n, r^2 - n - 1)$ में प्रतिस्थापित किया। इससे हमें $C(1, 0)$ प्राप्त होता है।

Step 5: त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात करना

त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक $(x, y)$ शीर्षों के औसत से दिए जाते हैं। $A(4 \cos t, 4 \sin t)$ , $B(2 \sin t, -2 \cos t)$ और $C(1, 0)$ के निर्देशांकों का उपयोग करके, हम केंद्रक के $x$ और $y$ निर्देशांकों के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं।

Step 6: केंद्रक के बिंदुपथ का समीकरण ज्ञात करना

केंद्रक के $x$ और $y$ निर्देशांकों के व्यंजकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $3x - 1 = 4 \cos t + 2 \sin t$ और $3y = 4 \sin t - 2 \cos t$ प्राप्त होता है। इन दोनों समीकरणों के वर्गों को जोड़कर, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ का उपयोग करके $t$ को समाप्त कर सकते हैं। इससे हमें $(3x - 1)^2 + (3y)^2 = 20$ प्राप्त होता है।

Step 7: अल्फा का मान ज्ञात करना

दिए गए बिंदुपथ समीकरण $(3x - 1)^2 + (3y)^2 = \alpha$ की तुलना हमारे प्राप्त समीकरण $(3x - 1)^2 + (3y)^2 = 20$ से करने पर, हमें $\alpha = 20$ प्राप्त होता है।

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