अतिपरवलय के लिए, फोकस के निर्देशांक (ae, 0) होते हैं और संगत नियता का समीकरण x = (a)/(e) होता है। दिए गए फोकस (√10, 0) और नियता x = (9)/(√10) की तुलना करके, हमें ae = √10 और (a)/(e) = (9)/(√10) प्राप्त होता है।

अतिपरवलय के लिए, फोकस के निर्देशांक (ae, 0) होते हैं और संगत नियता का समीकरण x = (a)/(e) होता है। दिए गए फोकस (√10, 0) और नियता x = (9)/(√10) की तुलना करके, हमें ae = √10 और (a)/(e) = (9)/(√10) प्राप्त होता है।

पिछले चरण से प्राप्त दोनों समीकरणों को गुणा करने पर, हमें a² का मान मिलता है। a² = 9 से a = 3 प्राप्त होता है। अब ae = √10 में a का मान रखने पर, हमें 3e = √10 मिलता है, जिससे e = (√10)/(3) प्राप्त होता है।

पिछले चरण से प्राप्त दोनों समीकरणों को गुणा करने पर, हमें a² का मान मिलता है। a² = 9 से a = 3 प्राप्त होता है। अब ae = √10 में a का मान रखने पर, हमें 3e = √10 मिलता है, जिससे e = (√10)/(3) प्राप्त होता है।

अतिपरवलय के लिए संबंध b² = a²(e²-1) का उपयोग करके, हम a=3 और e=(√10)/(3) के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। गणना करने पर, हमें b² = 1 प्राप्त होता है।

अतिपरवलय के लिए संबंध b² = a²(e²-1) का उपयोग करके, हम a=3 और e=(√10)/(3) के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। गणना करने पर, हमें b² = 1 प्राप्त होता है।

नाभिलंब की लंबाई का सूत्र l = (2b²)/(a) होता है। b²=1 और a=3 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें l = (2)/(3) प्राप्त होता है।

नाभिलंब की लंबाई का सूत्र l = (2b²)/(a) होता है। b²=1 और a=3 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें l = (2)/(3) प्राप्त होता है।

अब हम e² और l के मानों को दिए गए व्यंजक 9(e²+l) में प्रतिस्थापित करते हैं। e² = ((√10)/(3))² = (10)/(9) और l = (2)/(3) है। गणना करने पर, हमें अंतिम मान 16 प्राप्त होता है।

अब हम e² और l के मानों को दिए गए व्यंजक 9(e²+l) में प्रतिस्थापित करते हैं। e² = ((√10)/(3))² = (10)/(9) और l = (2)/(3) है। गणना करने पर, हमें अंतिम मान 16 प्राप्त होता है।

Let one focus of the hyperbola $H:\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}=1$ be at $(\sqrt{10},0)$ and the corresponding directrix be $x=\tfrac{9}{\sqrt{10}}$ . If $e$ and $l$ respectively are the eccentricity and the length of the latus rectum of $H$ , then $9\,(e^2+l)$ is equal to:

Answer: $16$

Step-by-step solution

Step 1: अतिपरवलय के फोकस और नियता का उपयोग करके उत्केंद्रता ज्ञात करना

अतिपरवलय के लिए, फोकस के निर्देशांक $(ae, 0)$ होते हैं और संगत नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e}$ होता है। दिए गए फोकस $(\sqrt{10}, 0)$ और नियता $x = \frac{9}{\sqrt{10}}$ की तुलना करके, हमें $ae = \sqrt{10}$ और $\frac{a}{e} = \frac{9}{\sqrt{10}}$ प्राप्त होता है।

Step 2: उत्केंद्रता (e) ज्ञात करना

पिछले चरण से प्राप्त दोनों समीकरणों को गुणा करने पर, हमें $a^2$ का मान मिलता है। $a^2 = 9$ से $a = 3$ प्राप्त होता है। अब $ae = \sqrt{10}$ में $a$ का मान रखने पर, हमें $3e = \sqrt{10}$ मिलता है, जिससे $e = \frac{\sqrt{10}}{3}$ प्राप्त होता है।

Step 3: b² का मान ज्ञात करना

अतिपरवलय के लिए संबंध $b^2 = a^2(e^2-1)$ का उपयोग करके, हम $a=3$ और $e=\frac{\sqrt{10}}{3}$ के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। गणना करने पर, हमें $b^2 = 1$ प्राप्त होता है।

Step 4: नाभिलंब की लंबाई (l) ज्ञात करना

नाभिलंब की लंबाई का सूत्र $l = \frac{2b^2}{a}$ होता है। $b^2=1$ और $a=3$ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $l = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

Step 5: $9(e^2+l)$ का मान ज्ञात करना

अब हम $e^2$ और $l$ के मानों को दिए गए व्यंजक $9(e^2+l)$ में प्रतिस्थापित करते हैं। $e^2 = \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^2 = \frac{10}{9}$ और $l = \frac{2}{3}$ है। गणना करने पर, हमें अंतिम मान $16$ प्राप्त होता है।

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