Let one focus of the hyperbola H:a2x2−b2y2=1 be at (10,0) and the corresponding directrix be x=109. If e and l respectively are the eccentricity and the length of the latus rectum of H, then 9(e2+l) is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: अतिपरवलय के फोकस और नियता का उपयोग करके उत्केंद्रता ज्ञात करना
अतिपरवलय के लिए, फोकस के निर्देशांक (ae,0) होते हैं और संगत नियता का समीकरण x=ea होता है। दिए गए फोकस (10,0) और नियता x=109 की तुलना करके, हमें ae=10 और ea=109 प्राप्त होता है।
Step 2: उत्केंद्रता (e) ज्ञात करना
पिछले चरण से प्राप्त दोनों समीकरणों को गुणा करने पर, हमें a2 का मान मिलता है। a2=9 से a=3 प्राप्त होता है। अब ae=10 में a का मान रखने पर, हमें 3e=10 मिलता है, जिससे e=310 प्राप्त होता है।
Step 3: b² का मान ज्ञात करना
अतिपरवलय के लिए संबंध b2=a2(e2−1) का उपयोग करके, हम a=3 और e=310 के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। गणना करने पर, हमें b2=1 प्राप्त होता है।
Step 4: नाभिलंब की लंबाई (l) ज्ञात करना
नाभिलंब की लंबाई का सूत्र l=a2b2 होता है। b2=1 और a=3 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें l=32 प्राप्त होता है।
Step 5: 9(e2+l) का मान ज्ञात करना
अब हम e2 और l के मानों को दिए गए व्यंजक 9(e2+l) में प्रतिस्थापित करते हैं। e2=(310)2=910 और l=32 है। गणना करने पर, हमें अंतिम मान 16 प्राप्त होता है।