सबसे पहले, हम रेखा L पर बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात करते हैं। रेखा L के समीकरण को k के बराबर मानकर, हम रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (k+1, -k-1, 2k+2) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। दिए गए बिंदु A(1,2,2) से P तक का सदिश AP है। चूंकि P रेखा L पर A से डाले गए लंब का पाद है, इसलिए AP रेखा L के दिशा सदिश d_L = (1, -1, 2) के लंबवत होगा। दो लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है। इस शर्त का उपयोग करके, हम k का मान ज्ञात करते हैं और फिर P के निर्देशांक प्राप्त करते हैं।

सबसे पहले, हम रेखा L पर बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात करते हैं। रेखा L के समीकरण को k के बराबर मानकर, हम रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (k+1, -k-1, 2k+2) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। दिए गए बिंदु A(1,2,2) से P तक का सदिश AP है। चूंकि P रेखा L पर A से डाले गए लंब का पाद है, इसलिए AP रेखा L के दिशा सदिश d_L = (1, -1, 2) के लंबवत होगा। दो लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है। इस शर्त का उपयोग करके, हम k का मान ज्ञात करते हैं और फिर P के निर्देशांक प्राप्त करते हैं।

अब, हम रेखा L और दूसरी दी गई रेखा r के प्रतिच्छेदन बिंदु Q को ज्ञात करते हैं। हम दोनों रेखाओं के सामान्य बिंदु के निर्देशांकों को बराबर करके k और के मान ज्ञात करते हैं। इन मानों को किसी भी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें बिंदु Q के निर्देशांक प्राप्त होते हैं।

अब, हम रेखा L और दूसरी दी गई रेखा r के प्रतिच्छेदन बिंदु Q को ज्ञात करते हैं। हम दोनों रेखाओं के सामान्य बिंदु के निर्देशांकों को बराबर करके k और के मान ज्ञात करते हैं। इन मानों को किसी भी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें बिंदु Q के निर्देशांक प्राप्त होते हैं।

अंत में, हम PQ² के मान को 2 से गुणा करके 2(PQ)² का मान ज्ञात करते हैं।

Let $P$ be the foot of the perpendicular from the point $(1{,}2{,}2)$ on the line $L: \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{2}$ . Let the line $\vec{r}=(-\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ , $\lambda \in \mathbb{R}$ , intersect the line $L$ at $Q$ . Then $2(PQ)^2$ is equal to:

Answer: $27$

Step-by-step solution

Step 1: रेखा L पर बिंदु P ज्ञात करना

सबसे पहले, हम रेखा $L$ पर बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात करते हैं। रेखा $L$ के समीकरण को $k$ के बराबर मानकर, हम रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(k+1, -k-1, 2k+2)$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। दिए गए बिंदु $A(1{,}2{,}2)$ से $P$ तक का सदिश $\vec{AP}$ है। चूंकि $P$ रेखा $L$ पर $A$ से डाले गए लंब का पाद है, इसलिए $\vec{AP}$ रेखा $L$ के दिशा सदिश $\vec{d_L} = (1, -1, 2)$ के लंबवत होगा। दो लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है। इस शर्त का उपयोग करके, हम $k$ का मान ज्ञात करते हैं और फिर $P$ के निर्देशांक प्राप्त करते हैं।

Step 2: रेखा L और दूसरी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु Q ज्ञात करना

अब, हम रेखा $L$ और दूसरी दी गई रेखा $\vec{r}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ को ज्ञात करते हैं। हम दोनों रेखाओं के सामान्य बिंदु के निर्देशांकों को बराबर करके $k$ और $\lambda$ के मान ज्ञात करते हैं। इन मानों को किसी भी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें बिंदु $Q$ के निर्देशांक प्राप्त होते हैं।

Step 3: दूरी PQ ज्ञात करना

अब जब हमारे पास बिंदु $P$ और $Q$ के निर्देशांक हैं, तो हम उनके बीच की दूरी $PQ$ को दूरी सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कर सकते हैं। हम $P$ और $Q$ के निर्देशांकों का उपयोग करके $PQ^2$ की गणना करते हैं।

Step 4: 2(PQ)^2 का मान ज्ञात करना

अंत में, हम $PQ^2$ के मान को 2 से गुणा करके $2(PQ)^2$ का मान ज्ञात करते हैं।

Solve your own maths question free →