Let pp be the number of all triangles that can be formed by joining the vertices of a regular polygon PP of nn sides and qq be the number of all quadrilaterals that can be formed by joining the vertices of PP. If p+q=126p + q = 126, then the eccentricity of the ellipse x216+y2n=1\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{n} = 1 is:

Answer: दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता 22\frac{\sqrt{2}}{2} है।

Step-by-step solution

Step 1: त्रिभुजों और चतुर्भुजों की संख्या ज्ञात करना

एक नियमित बहुभुज के nn शीर्षों में से, pp त्रिभुजों की संख्या है जिसे 3 शीर्षों का चयन करके बनाया जा सकता है। यह संयोजन सूत्र (n3)\binom{n}{3} द्वारा दिया जाता है। इसी प्रकार, qq चतुर्भुजों की संख्या है जिसे 4 शीर्षों का चयन करके बनाया जा सकता है, जो (n4)\binom{n}{4} द्वारा दिया जाता है।

Step 2: nn का मान ज्ञात करना

हमें दिया गया है कि p+q=126p + q = 126 । हम संयोजन सूत्र (nr)+(nr+1)=(n+1r+1)\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1} का उपयोग करके समीकरण को सरल कर सकते हैं। इससे हमें (n+14)=126\binom{n+1}{4} = 126 मिलता है। 126×24=3024126 \times 24 = 3024 है। हम जानते हैं कि 8×7×6×5=16808 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680 और 9×8×7×6=30249 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024 । इसलिए, n+1=9n+1 = 9, जिसका अर्थ है n=8n=8 ।

Step 3: दीर्घवृत्त का समीकरण लिखना

अब जब हमने n=8n=8 का मान ज्ञात कर लिया है, तो हम इसे दीर्घवृत्त के दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

Step 4: उत्केंद्रता ज्ञात करना

दीर्घवृत्त के समीकरण x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 से, हम a2=16a^2 = 16 और b2=8b^2 = 8 प्राप्त करते हैं। उत्केंद्रता ee का सूत्र e=1−b2a2e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें उत्केंद्रता 22\frac{\sqrt{2}}{2} मिलती है।

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