Let p be the number of all triangles that can be formed by joining the vertices of a regular polygon P of n sides and q be the number of all quadrilaterals that can be formed by joining the vertices of P. If p+q=126, then the eccentricity of the ellipse 16x2+ny2=1 is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: त्रिभुजों और चतुर्भुजों की संख्या ज्ञात करना
एक नियमित बहुभुज के n शीर्षों में से, p त्रिभुजों की संख्या है जिसे 3 शीर्षों का चयन करके बनाया जा सकता है। यह संयोजन सूत्र (3n) द्वारा दिया जाता है। इसी प्रकार, q चतुर्भुजों की संख्या है जिसे 4 शीर्षों का चयन करके बनाया जा सकता है, जो (4n) द्वारा दिया जाता है।
Step 2: n का मान ज्ञात करना
हमें दिया गया है कि p+q=126 । हम संयोजन सूत्र (rn)+(r+1n)=(r+1n+1) का उपयोग करके समीकरण को सरल कर सकते हैं। इससे हमें (4n+1)=126 मिलता है। 126×24=3024 है। हम जानते हैं कि 8×7×6×5=1680 और 9×8×7×6=3024 । इसलिए, n+1=9, जिसका अर्थ है n=8 ।
Step 3: दीर्घवृत्त का समीकरण लिखना
अब जब हमने n=8 का मान ज्ञात कर लिया है, तो हम इसे दीर्घवृत्त के दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
Step 4: उत्केंद्रता ज्ञात करना
दीर्घवृत्त के समीकरण a2x2+b2y2=1 से, हम a2=16 और b2=8 प्राप्त करते हैं। उत्केंद्रता e का सूत्र e=1−a2b2 है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें उत्केंद्रता 22 मिलती है।