द्विघात समीकरण Ay² + By + C = 0 के मूलों का योग y_1 + y_2 = -(B)/(A) द्वारा दिया जाता है। हमारे समीकरण 4y² - 6y + 1 = 0 में, A = 4, B = -6, और C = 1 है।

द्विघात समीकरण Ay² + By + C = 0 के मूलों का योग y_1 + y_2 = -(B)/(A) द्वारा दिया जाता है। हमारे समीकरण 4y² - 6y + 1 = 0 में, A = 4, B = -6, और C = 1 है।

Let P be the parabola, whose focus is $(-2, 1)$ and directrix is $2x + y + 2 = 0$ . Then the sum of the ordinates of the points on P, whose abscissa is $-2$ , is:

Answer: परवलय पर उन बिंदुओं के y-निर्देशांकों का योग, जिनका भुज $-2$ है, $\frac{3}{2}$ है।

Step-by-step solution

Step 1: परवलय की परिभाषा का उपयोग करें

परवलय की परिभाषा के अनुसार, परवलय पर किसी भी बिंदु की फोकस से दूरी (PS) और नियता से लंबवत दूरी (PM) हमेशा बराबर होती है। मान लीजिए परवलय पर कोई बिंदु $P(x, y)$ है, फोकस $S(-2, 1)$ है, और नियता $2x + y + 2 = 0$ है।

Step 2: दूरी सूत्र और नियता सूत्र लागू करें

फोकस $S(-2, 1)$ और बिंदु $P(x, y)$ के बीच की दूरी दूरी सूत्र $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके ज्ञात की जाती है। बिंदु $P(x, y)$ से नियता $Ax + By + C = 0$ तक की लंबवत दूरी सूत्र $\frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ का उपयोग करके ज्ञात की जाती है।

Step 3: समीकरण को सरल करें और $x = -2$ प्रतिस्थापित करें

हमने परवलय के समीकरण को सरल किया है। अब, हमें उन बिंदुओं के लिए $y$ -निर्देशांक ज्ञात करने हैं जिनका $x$ -निर्देशांक $-2$ है। इसलिए, हम $x = -2$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 4: y के लिए हल करें

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $y$ में एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। इस समीकरण को मानक रूप $Ay^2 + By + C = 0$ में व्यवस्थित करें।

Step 5: y-निर्देशांकों का योग ज्ञात करें

द्विघात समीकरण $Ay^2 + By + C = 0$ के मूलों का योग $y_1 + y_2 = -\frac{B}{A}$ द्वारा दिया जाता है। हमारे समीकरण $4y^2 - 6y + 1 = 0$ में, $A = 4$ , $B = -6$ , और $C = 1$ है।

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Let P be the parabola, whose focus is (−2,1)(-2, 1)(−2,1) and directrix is 2x+y+2=02x + y + 2 = 02x+y+2=0. Then the sum of the ordinates of the points on P, whose abscissa is −2-2−2, is: