Let S=N∪{0}. Define a relation R from S to R by: R={(x,y):logey=xloge(5x),x∈S,y∈R}. Then, the sum of all the elements in the range of R is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: संबंध को सरल करें
हमें दिए गए संबंध को सरल करना है ताकि हम y के मानों को x के पदों में व्यक्त कर सकें। यह हमें R के परिसर (range) के तत्वों को खोजने में मदद करेगा।
Step 2: लघुगणक के गुणों का उपयोग करें
लघुगणक के गुण alogeb=loge(ba) का उपयोग करके, हम समीकरण के दाहिने हाथ की ओर को सरल करते हैं।
Step 3: y के लिए हल करें
चूंकि logey=logeA का अर्थ है y=A, हम y के लिए हल कर सकते हैं। यह R के परिसर के तत्वों को x के पदों में देता है।
Step 4: x के संभावित मानों का निर्धारण करें
हमें यह भी ध्यान रखना होगा कि लघुगणक केवल धनात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित होता है। इसलिए, logey के परिभाषित होने के लिए y>0 होना चाहिए। साथ ही, loge(5x) के परिभाषित होने के लिए 5x>0 होना चाहिए, जिसका अर्थ है x>0 । चूंकि x∈S=N∪{0}, x=0 के लिए loge(0) अपरिभाषित है। इसलिए, x के मान केवल धनात्मक पूर्णांक होंगे, अर्थात x∈N.
Step 5: परिसर के तत्वों की गणना करें
अब हम x के विभिन्न धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए y के मानों की गणना करते हैं।
यदि x=1, y=(1/5)1=1/5
यदि x=2, y=(2/5)2=4/25
यदि x=3, y=(3/5)3=27/125
यदि x=4, y=(4/5)4=256/625
यदि x=5, y=(5/5)5=15=1
यदि x=6, y=(6/5)6=46656/15625
हम देखते हैं कि y के मान अद्वितीय हैं।
Step 6: परिसर के तत्वों का योग
प्रश्न में 'परिसर के सभी तत्वों का योग' पूछा गया है। चूंकि x एक धनात्मक पूर्णांक है, x के प्रत्येक मान के लिए y का एक अद्वितीय मान प्राप्त होता है। इसलिए, परिसर के सभी तत्वों का योग ∑x=1∞(5x)x होगा। यह एक अनंत श्रृंखला है। यदि प्रश्न का आशय केवल उन x मानों से था जिनके लिए y एक पूर्णांक है, तो केवल x=5 के लिए y=1 एक पूर्णांक है। लेकिन 'परिसर के सभी तत्वों का योग' का अर्थ सभी संभव y मानों का योग है। यह श्रृंखला अभिसारी नहीं है क्योंकि x≥5 के लिए (5x)x≥1 है। इसलिए, योग अनंत होगा।