हमें यह भी ध्यान रखना होगा कि लघुगणक केवल धनात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित होता है। इसलिए, log_e y के परिभाषित होने के लिए y > 0 होना चाहिए। साथ ही, log_e ((x)/(5)) के परिभाषित होने के लिए (x)/(5) > 0 होना चाहिए, जिसका अर्थ है x > 0। चूंकि x S = N 0, x=0 के लिए log_e(0) अपरिभाषित है। इसलिए, x के मान केवल धनात्मक पूर्णांक होंगे, अर्थात x N.

हमें यह भी ध्यान रखना होगा कि लघुगणक केवल धनात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित होता है। इसलिए, log_e y के परिभाषित होने के लिए y > 0 होना चाहिए। साथ ही, log_e ((x)/(5)) के परिभाषित होने के लिए (x)/(5) > 0 होना चाहिए, जिसका अर्थ है x > 0। चूंकि x S = N 0, x=0 के लिए log_e(0) अपरिभाषित है। इसलिए, x के मान केवल धनात्मक पूर्णांक होंगे, अर्थात x N.

अब हम x के विभिन्न धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए y के मानों की गणना करते हैं। यदि x=1, y = (1/5)^1 = 1/5 यदि x=2, y = (2/5)² = 4/25 यदि x=3, y = (3/5)³ = 27/125 यदि x=4, y = (4/5)^4 = 256/625 यदि x=5, y = (5/5)^5 = 1^5 = 1 यदि x=6, y = (6/5)^6 = 46656/15625 हम देखते हैं कि y के मान अद्वितीय हैं।

अब हम x के विभिन्न धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए y के मानों की गणना करते हैं। यदि x=1, y = (1/5)^1 = 1/5 यदि x=2, y = (2/5)² = 4/25 यदि x=3, y = (3/5)³ = 27/125 यदि x=4, y = (4/5)^4 = 256/625 यदि x=5, y = (5/5)^5 = 1^5 = 1 यदि x=6, y = (6/5)^6 = 46656/15625 हम देखते हैं कि y के मान अद्वितीय हैं।

Let $S=\mathbb{N} \cup \{0\}$ . Define a relation $R$ from $S$ to $\mathbb{R}$ by: $R=\left\{(x, y): \log_e y = x \log_e \left(\frac{x}{5}\right), x \in S, y \in \mathbb{R}\right\}$ . Then, the sum of all the elements in the range of $R$ is equal to:

Answer: अनंत

Step-by-step solution

Step 1: संबंध को सरल करें

हमें दिए गए संबंध को सरल करना है ताकि हम $y$ के मानों को $x$ के पदों में व्यक्त कर सकें। यह हमें $R$ के परिसर (range) के तत्वों को खोजने में मदद करेगा।

Step 2: लघुगणक के गुणों का उपयोग करें

लघुगणक के गुण $a \log_e b = \log_e (b^a)$ का उपयोग करके, हम समीकरण के दाहिने हाथ की ओर को सरल करते हैं।

Step 3: y के लिए हल करें

चूंकि $\log_e y = \log_e A$ का अर्थ है $y = A$ , हम $y$ के लिए हल कर सकते हैं। यह $R$ के परिसर के तत्वों को $x$ के पदों में देता है।

Step 4: x के संभावित मानों का निर्धारण करें

हमें यह भी ध्यान रखना होगा कि लघुगणक केवल धनात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित होता है। इसलिए, $\log_e y$ के परिभाषित होने के लिए $y > 0$ होना चाहिए। साथ ही, $\log_e \left(\frac{x}{5}\right)$ के परिभाषित होने के लिए $\frac{x}{5} > 0$ होना चाहिए, जिसका अर्थ है $x > 0$ । चूंकि $x \in S = \mathbb{N} \cup \{0\}$ , $x=0$ के लिए $\log_e(0)$ अपरिभाषित है। इसलिए, $x$ के मान केवल धनात्मक पूर्णांक होंगे, अर्थात $x \in \mathbb{N}$ .

Step 5: परिसर के तत्वों की गणना करें

अब हम $x$ के विभिन्न धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए $y$ के मानों की गणना करते हैं। यदि $x=1$ , $y = (1/5)^1 = 1/5$ यदि $x=2$ , $y = (2/5)^2 = 4/25$ यदि $x=3$ , $y = (3/5)^3 = 27/125$ यदि $x=4$ , $y = (4/5)^4 = 256/625$ यदि $x=5$ , $y = (5/5)^5 = 1^5 = 1$ यदि $x=6$ , $y = (6/5)^6 = 46656/15625$ हम देखते हैं कि $y$ के मान अद्वितीय हैं।

Step 6: परिसर के तत्वों का योग

प्रश्न में 'परिसर के सभी तत्वों का योग' पूछा गया है। चूंकि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक है, $x$ के प्रत्येक मान के लिए $y$ का एक अद्वितीय मान प्राप्त होता है। इसलिए, परिसर के सभी तत्वों का योग $\sum_{x=1}^{\infty} \left(\frac{x}{5}\right)^x$ होगा। यह एक अनंत श्रृंखला है। यदि प्रश्न का आशय केवल उन $x$ मानों से था जिनके लिए $y$ एक पूर्णांक है, तो केवल $x=5$ के लिए $y=1$ एक पूर्णांक है। लेकिन 'परिसर के सभी तत्वों का योग' का अर्थ सभी संभव $y$ मानों का योग है। यह श्रृंखला अभिसारी नहीं है क्योंकि $x \ge 5$ के लिए $\left(\frac{x}{5}\right)^x \ge 1$ है। इसलिए, योग अनंत होगा।

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