हमें ऑर्डर किए गए जोड़े (x, y) की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ x S, y A, और x विभाजित करता है y। स्थिति 1: y S। इस स्थिति में, x को y को विभाजित करना चाहिए। चूंकि x और y दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, x केवल y को तभी विभाजित कर सकता है जब x = y हो। S में 10 तत्व हैं, इसलिए 10 ऐसे जोड़े (x, x) हैं। स्थिति 2: y P। P सेट S के विशिष्ट तत्वों के उत्पादों का सेट है। यदि y सेट S के विशिष्ट तत्वों का एक उत्पाद है, तो y = p_i_1 · p_i_2 · · p_i_k जहाँ p_i_j S और सभी p_i_j विशिष्ट हैं। यदि x S y को विभाजित करता है, तो x को y के अभाज्य गुणनखंडों में से एक होना चाहिए। चूंकि y सेट S के विशिष्ट तत्वों का एक उत्पाद है, y के सभी अभाज्य गुणनखंड S में हैं। इसलिए, S का कोई भी तत्व x जो y के अभाज्य गुणनखंडों में से एक है, y को विभाजित करेगा। P में S के विशिष्ट तत्वों के सभी संभावित उत्पाद शामिल हैं। S में 10 तत्व हैं। S के 2 विशिष्ट तत्वों के उत्पाद: 102 उत्पाद। प्रत्येक उत्पाद 2 तत्वों से विभाज्य है। S के 3 विशिष्ट तत्वों के उत्पाद: 103 उत्पाद। प्रत्येक उत्पाद 3 तत्वों से विभाज्य है।... और इसी तरह S के 10 विशिष्ट तत्वों के उत्पाद तक। P में तत्वों की कुल संख्या 2^(10) - 1 - 10 = 1024 - 1 - 10 = 1013 है। (कुल उपसमुच्चय - खाली सेट - एकल तत्व वाले सेट) प्रत्येक y P के लिए, y को S के k विशिष्ट तत्वों के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ 2 ≤ k ≤ 10। ऐसे y के लिए, S में k तत्व हैं जो y को विभाजित करते हैं। इसलिए, y P के लिए, x द्वारा y के विभाजन की संख्या k · 10k के योग के बराबर है, जहाँ k y के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है। यह k · 10k का योग नहीं है, बल्कि k · 10k का योग है, जहाँ k y के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है। S के प्रत्येक तत्व p_i के लिए, p_i S में p_i को विभाजित करता है (1 जोड़ी)। S के प्रत्येक तत्व p_i के लिए, p_i P में उन सभी उत्पादों को विभाजित करता है जिनमें p_i एक गुणनखंड के रूप में होता है। P में उन उत्पादों की संख्या जिनमें p_i एक गुणनखंड के रूप में होता है, S p_i के उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर है। S p_i में 9 तत्व हैं, इसलिए 2^9 - 1 = 511 ऐसे उत्पाद हैं (खाली सेट को छोड़कर, क्योंकि उत्पाद में कम से कम दो तत्व होने चाहिए)। तो, प्रत्येक p_i S के लिए, p_i S में 1 तत्व को विभाजित करता है (स्वयं p_i) और P में 2^9 - 1 तत्वों को विभाजित करता है। इसलिए, प्रत्येक p_i S के लिए, p_i A में 1 + (2^9 - 1) = 2^9 = 512 तत्वों को विभाजित करता है। चूंकि S में 10 तत्व हैं, इसलिए कुल ऑर्डर किए गए जोड़े (x, y) की संख्या 10 × 2^9 है।

हमें ऑर्डर किए गए जोड़े (x, y) की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ x S, y A, और x विभाजित करता है y। स्थिति 1: y S। इस स्थिति में, x को y को विभाजित करना चाहिए। चूंकि x और y दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, x केवल y को तभी विभाजित कर सकता है जब x = y हो। S में 10 तत्व हैं, इसलिए 10 ऐसे जोड़े (x, x) हैं। स्थिति 2: y P। P सेट S के विशिष्ट तत्वों के उत्पादों का सेट है। यदि y सेट S के विशिष्ट तत्वों का एक उत्पाद है, तो y = p_i_1 · p_i_2 · · p_i_k जहाँ p_i_j S और सभी p_i_j विशिष्ट हैं। यदि x S y को विभाजित करता है, तो x को y के अभाज्य गुणनखंडों में से एक होना चाहिए। चूंकि y सेट S के विशिष्ट तत्वों का एक उत्पाद है, y के सभी अभाज्य गुणनखंड S में हैं। इसलिए, S का कोई भी तत्व x जो y के अभाज्य गुणनखंडों में से एक है, y को विभाजित करेगा। P में S के विशिष्ट तत्वों के सभी संभावित उत्पाद शामिल हैं। S में 10 तत्व हैं। S के 2 विशिष्ट तत्वों के उत्पाद: 102 उत्पाद। प्रत्येक उत्पाद 2 तत्वों से विभाज्य है। S के 3 विशिष्ट तत्वों के उत्पाद: 103 उत्पाद। प्रत्येक उत्पाद 3 तत्वों से विभाज्य है।... और इसी तरह S के 10 विशिष्ट तत्वों के उत्पाद तक। P में तत्वों की कुल संख्या 2^(10) - 1 - 10 = 1024 - 1 - 10 = 1013 है। (कुल उपसमुच्चय - खाली सेट - एकल तत्व वाले सेट) प्रत्येक y P के लिए, y को S के k विशिष्ट तत्वों के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ 2 ≤ k ≤ 10। ऐसे y के लिए, S में k तत्व हैं जो y को विभाजित करते हैं। इसलिए, y P के लिए, x द्वारा y के विभाजन की संख्या k · 10k के योग के बराबर है, जहाँ k y के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है। यह k · 10k का योग नहीं है, बल्कि k · 10k का योग है, जहाँ k y के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है। S के प्रत्येक तत्व p_i के लिए, p_i S में p_i को विभाजित करता है (1 जोड़ी)। S के प्रत्येक तत्व p_i के लिए, p_i P में उन सभी उत्पादों को विभाजित करता है जिनमें p_i एक गुणनखंड के रूप में होता है। P में उन उत्पादों की संख्या जिनमें p_i एक गुणनखंड के रूप में होता है, S p_i के उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर है। S p_i में 9 तत्व हैं, इसलिए 2^9 - 1 = 511 ऐसे उत्पाद हैं (खाली सेट को छोड़कर, क्योंकि उत्पाद में कम से कम दो तत्व होने चाहिए)। तो, प्रत्येक p_i S के लिए, p_i S में 1 तत्व को विभाजित करता है (स्वयं p_i) और P में 2^9 - 1 तत्वों को विभाजित करता है। इसलिए, प्रत्येक p_i S के लिए, p_i A में 1 + (2^9 - 1) = 2^9 = 512 तत्वों को विभाजित करता है। चूंकि S में 10 तत्व हैं, इसलिए कुल ऑर्डर किए गए जोड़े (x, y) की संख्या 10 × 2^9 है।

Let $S = \{p_1, p_2, \ldots, p_{10}\}$ be the set of first ten prime numbers. Let $A = S \cup P$ , where $P$ is the set of all possible products of distinct elements of $S$ . Then the number of all ordered pairs $(x, y)$ , $x \in S$ , $y \in A$ , such that $x$ divides $y$ , is

Answer: 5120

Step-by-step solution

Step 1: समस्या को समझना और सेट $S$ को परिभाषित करना

समस्या में, हमें पहले दस अभाज्य संख्याओं का एक सेट $S$ दिया गया है। अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो 1 और स्वयं के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाज्य नहीं होती हैं। पहले दस अभाज्य संख्याएँ हैं $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$ ।

Step 2: सेट $A$ को परिभाषित करना

सेट $A$ को $S$ और $P$ के संघ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $P$ सेट $S$ के विशिष्ट तत्वों के सभी संभावित उत्पादों का सेट है। इसका मतलब है कि $A$ में $S$ के सभी तत्व और $S$ के दो या दो से अधिक विशिष्ट तत्वों के सभी संभावित उत्पाद शामिल हैं।

Step 3: ऑर्डर किए गए जोड़े $(x, y)$ की गणना करना

हमें ऑर्डर किए गए जोड़े $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ $x \in S$ , $y \in A$ , और $x$ विभाजित करता है $y$ । स्थिति 1: $y \in S$ । इस स्थिति में, $x$ को $y$ को विभाजित करना चाहिए। चूंकि $x$ और $y$ दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, $x$ केवल $y$ को तभी विभाजित कर सकता है जब $x = y$ हो। $S$ में 10 तत्व हैं, इसलिए 10 ऐसे जोड़े $(x, x)$ हैं। स्थिति 2: $y \in P$ । $P$ सेट $S$ के विशिष्ट तत्वों के उत्पादों का सेट है। यदि $y$ सेट $S$ के विशिष्ट तत्वों का एक उत्पाद है, तो $y = p_{i_1} \cdot p_{i_2} \cdot \ldots \cdot p_{i_k}$ जहाँ $p_{i_j} \in S$ और सभी $p_{i_j}$ विशिष्ट हैं। यदि $x \in S$ $y$ को विभाजित करता है, तो $x$ को $y$ के अभाज्य गुणनखंडों में से एक होना चाहिए। चूंकि $y$ सेट $S$ के विशिष्ट तत्वों का एक उत्पाद है, $y$ के सभी अभाज्य गुणनखंड $S$ में हैं। इसलिए, $S$ का कोई भी तत्व $x$ जो $y$ के अभाज्य गुणनखंडों में से एक है, $y$ को विभाजित करेगा। $P$ में $S$ के विशिष्ट तत्वों के सभी संभावित उत्पाद शामिल हैं। $S$ में 10 तत्व हैं। $S$ के 2 विशिष्ट तत्वों के उत्पाद: $\binom{10}{2}$ उत्पाद। प्रत्येक उत्पाद 2 तत्वों से विभाज्य है। $S$ के 3 विशिष्ट तत्वों के उत्पाद: $\binom{10}{3}$ उत्पाद। प्रत्येक उत्पाद 3 तत्वों से विभाज्य है। ... और इसी तरह $S$ के 10 विशिष्ट तत्वों के उत्पाद तक। $P$ में तत्वों की कुल संख्या $2^{10} - 1 - 10 = 1024 - 1 - 10 = 1013$ है। (कुल उपसमुच्चय - खाली सेट - एकल तत्व वाले सेट) प्रत्येक $y \in P$ के लिए, $y$ को $S$ के $k$ विशिष्ट तत्वों के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $2 \le k \le 10$ । ऐसे $y$ के लिए, $S$ में $k$ तत्व हैं जो $y$ को विभाजित करते हैं। इसलिए, $y \in P$ के लिए, $x$ द्वारा $y$ के विभाजन की संख्या $k \cdot \binom{10}{k}$ के योग के बराबर है, जहाँ $k$ $y$ के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है। यह $k \cdot \binom{10}{k}$ का योग नहीं है, बल्कि $k \cdot \binom{10}{k}$ का योग है, जहाँ $k$ $y$ के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है। $S$ के प्रत्येक तत्व $p_i$ के लिए, $p_i$ $S$ में $p_i$ को विभाजित करता है (1 जोड़ी)। $S$ के प्रत्येक तत्व $p_i$ के लिए, $p_i$ $P$ में उन सभी उत्पादों को विभाजित करता है जिनमें $p_i$ एक गुणनखंड के रूप में होता है। $P$ में उन उत्पादों की संख्या जिनमें $p_i$ एक गुणनखंड के रूप में होता है, $S \setminus \{p_i\}$ के उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर है। $S \setminus \{p_i\}$ में 9 तत्व हैं, इसलिए $2^9 - 1 = 511$ ऐसे उत्पाद हैं (खाली सेट को छोड़कर, क्योंकि उत्पाद में कम से कम दो तत्व होने चाहिए)। तो, प्रत्येक $p_i \in S$ के लिए, $p_i$ $S$ में 1 तत्व को विभाजित करता है (स्वयं $p_i$ ) और $P$ में $2^9 - 1$ तत्वों को विभाजित करता है। इसलिए, प्रत्येक $p_i \in S$ के लिए, $p_i$ $A$ में $1 + (2^9 - 1) = 2^9 = 512$ तत्वों को विभाजित करता है। चूंकि $S$ में 10 तत्व हैं, इसलिए कुल ऑर्डर किए गए जोड़े $(x, y)$ की संख्या $10 \times 2^9$ है।

Step 4: अंतिम गणना

प्रत्येक $x \in S$ के लिए, $x$ $A$ में $2^9$ तत्वों को विभाजित करता है। चूंकि $S$ में 10 तत्व हैं, इसलिए कुल ऑर्डर किए गए जोड़े $(x, y)$ की संख्या $10 \times 2^9 = 10 \times 512 = 5120$ है।

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Step-by-step solution

Step 1: समस्या को समझना और सेट SSS को परिभाषित करना

Step 2: सेट AAA को परिभाषित करना

Step 3: ऑर्डर किए गए जोड़े (x,y)(x, y)(x,y) की गणना करना

Step 4: अंतिम गणना

Step 1: समस्या को समझना और सेट $S$ को परिभाषित करना

Step 2: सेट $A$ को परिभाषित करना

Step 3: ऑर्डर किए गए जोड़े $(x, y)$ की गणना करना