Let S={p1,p2,…,p10} be the set of first ten prime numbers. Let A=S∪P, where P is the set of all possible products of distinct elements of S. Then the number of all ordered pairs (x, y), x∈S, y∈A, such that x divides y, is
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Step-by-Step Solution
Step 1: समस्या को समझना और सेट S को परिभाषित करना
समस्या में, हमें पहले दस अभाज्य संख्याओं का एक सेट S दिया गया है। अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो 1 और स्वयं के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाज्य नहीं होती हैं। पहले दस अभाज्य संख्याएँ हैं 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 ।
Step 2: सेट A को परिभाषित करना
सेट A को S और P के संघ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ P सेट S के विशिष्ट तत्वों के सभी संभावित उत्पादों का सेट है। इसका मतलब है कि A में S के सभी तत्व और S के दो या दो से अधिक विशिष्ट तत्वों के सभी संभावित उत्पाद शामिल हैं।
Step 3: ऑर्डर किए गए जोड़े (x, y) की गणना करना
हमें ऑर्डर किए गए जोड़े (x, y) की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ x∈S, y∈A, और x विभाजित करता है y ।
स्थिति 1: y∈S । इस स्थिति में, x को y को विभाजित करना चाहिए। चूंकि x और y दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, x केवल y को तभी विभाजित कर सकता है जब x=y हो। S में 10 तत्व हैं, इसलिए 10 ऐसे जोड़े (x, x) हैं।
स्थिति 2: y∈P । P सेट S के विशिष्ट तत्वों के उत्पादों का सेट है। यदि y सेट S के विशिष्ट तत्वों का एक उत्पाद है, तो y=pi1⋅pi2⋅…⋅pik जहाँ pij∈S और सभी pij विशिष्ट हैं। यदि x∈S y को विभाजित करता है, तो x को y के अभाज्य गुणनखंडों में से एक होना चाहिए। चूंकि y सेट S के विशिष्ट तत्वों का एक उत्पाद है, y के सभी अभाज्य गुणनखंड S में हैं। इसलिए, S का कोई भी तत्व x जो y के अभाज्य गुणनखंडों में से एक है, y को विभाजित करेगा।
P में S के विशिष्ट तत्वों के सभी संभावित उत्पाद शामिल हैं। S में 10 तत्व हैं।
S के 2 विशिष्ट तत्वों के उत्पाद: (210) उत्पाद। प्रत्येक उत्पाद 2 तत्वों से विभाज्य है।
S के 3 विशिष्ट तत्वों के उत्पाद: (310) उत्पाद। प्रत्येक उत्पाद 3 तत्वों से विभाज्य है।
... और इसी तरह S के 10 विशिष्ट तत्वों के उत्पाद तक।
P में तत्वों की कुल संख्या 210−1−10=1024−1−10=1013 है। (कुल उपसमुच्चय - खाली सेट - एकल तत्व वाले सेट)
प्रत्येक y∈P के लिए, y को S के k विशिष्ट तत्वों के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ 2≤k≤10 । ऐसे y के लिए, S में k तत्व हैं जो y को विभाजित करते हैं।
इसलिए, y∈P के लिए, x द्वारा y के विभाजन की संख्या k⋅(k10) के योग के बराबर है, जहाँ k y के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है।
यह k⋅(k10) का योग नहीं है, बल्कि k⋅(k10) का योग है, जहाँ k y के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है।
S के प्रत्येक तत्व pi के लिए, pi S में pi को विभाजित करता है (1 जोड़ी)।
S के प्रत्येक तत्व pi के लिए, pi P में उन सभी उत्पादों को विभाजित करता है जिनमें pi एक गुणनखंड के रूप में होता है।
P में उन उत्पादों की संख्या जिनमें pi एक गुणनखंड के रूप में होता है, S∖{pi} के उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर है। S∖{pi} में 9 तत्व हैं, इसलिए 29−1=511 ऐसे उत्पाद हैं (खाली सेट को छोड़कर, क्योंकि उत्पाद में कम से कम दो तत्व होने चाहिए)।
तो, प्रत्येक pi∈S के लिए, pi S में 1 तत्व को विभाजित करता है (स्वयं pi) और P में 29−1 तत्वों को विभाजित करता है।
इसलिए, प्रत्येक pi∈S के लिए, pi A में 1+(29−1)=29=512 तत्वों को विभाजित करता है।
चूंकि S में 10 तत्व हैं, इसलिए कुल ऑर्डर किए गए जोड़े (x, y) की संख्या 10×29 है।
Step 4: अंतिम गणना
प्रत्येक x∈S के लिए, x A में 29 तत्वों को विभाजित करता है। चूंकि S में 10 तत्व हैं, इसलिए कुल ऑर्डर किए गए जोड़े (x, y) की संख्या 10×29=10×512=5120 है।