व्यंजक को विस्तारित करने पर, हम देखते हैं कि x · (k)/(x) = k और x² · (k²)/(x²) = k²। चूंकि 0 ≤ t < 1, इसलिए 0 ≤ x (k)/(x) < x और 0 ≤ x² (k²)/(x²) < x²। जैसे ही x → 0^+, x (k)/(x) और x² (k²)/(x²) दोनों 0 की ओर अग्रसर होते हैं।

व्यंजक को विस्तारित करने पर, हम देखते हैं कि x · (k)/(x) = k और x² · (k²)/(x²) = k²। चूंकि 0 ≤ t < 1, इसलिए 0 ≤ x (k)/(x) < x और 0 ≤ x² (k²)/(x²) < x²। जैसे ही x → 0^+, x (k)/(x) और x² (k²)/(x²) दोनों 0 की ओर अग्रसर होते हैं।

अब हमें प्राप्त असमानता p(p+1)(1-p) ≥ 3 को हल करना है। हम p के विभिन्न प्राकृतिक मानों के लिए इस असमानता की जाँच करेंगे।

अब हमें प्राप्त असमानता p(p+1)(1-p) ≥ 3 को हल करना है। हम p के विभिन्न प्राकृतिक मानों के लिए इस असमानता की जाँच करेंगे।

हम p के प्राकृतिक मानों के लिए असमानता का परीक्षण करते हैं। p=1 के लिए, व्यंजक 0 है, जो 3 से कम है। p=2 के लिए, व्यंजक -6 है, जो 3 से कम है। चूंकि p(p+1)(1-p) p ≥ 1 के लिए हमेशा गैर-धनात्मक होता है (क्योंकि 1-p ≤ 0), और p(p+1) धनात्मक होता है, इसलिए p(p+1)(1-p) कभी भी 3 से बड़ा या उसके बराबर नहीं हो सकता। इसलिए, ऐसा कोई प्राकृतिक संख्या p मौजूद नहीं है जो दी गई असमानता को संतुष्ट करता हो।

हम p के प्राकृतिक मानों के लिए असमानता का परीक्षण करते हैं। p=1 के लिए, व्यंजक 0 है, जो 3 से कम है। p=2 के लिए, व्यंजक -6 है, जो 3 से कम है। चूंकि p(p+1)(1-p) p ≥ 1 के लिए हमेशा गैर-धनात्मक होता है (क्योंकि 1-p ≤ 0), और p(p+1) धनात्मक होता है, इसलिए p(p+1)(1-p) कभी भी 3 से बड़ा या उसके बराबर नहीं हो सकता। इसलिए, ऐसा कोई प्राकृतिक संख्या p मौजूद नहीं है जो दी गई असमानता को संतुष्ट करता हो।

Let $[t]$ be the greatest integer less than or equal to $t$ . Then the least value of $p \in \mathbf{N}$ for which $\lim_{x \to 0^+} \left( x \left( \left[\frac{1}{x}\right] + \left[\frac{2}{x}\right] + \ldots + \left[\frac{p}{x}\right] \right) - x^2 \left( \left[\frac{1}{x^2}\right] + \left[\frac{2^2}{x^2}\right] + \ldots + \left[\frac{p^2}{x^2}\right] \right) \right) \geq 1$ is equal to

Answer: ऐसा कोई प्राकृतिक संख्या $p$ मौजूद नहीं है जो दी गई असमानता को संतुष्ट करता हो।

Step-by-step solution

Step 1: ग्रेटेस्ट इंटीजर फंक्शन का गुणधर्म

ग्रेटेस्ट इंटीजर फंक्शन $[t]$ को $t - \{t\}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $\{t\}$ $t$ का भिन्नात्मक भाग है। भिन्नात्मक भाग हमेशा $0$ और $1$ के बीच होता है (शून्य सहित, लेकिन $1$ को छोड़कर)। इस गुणधर्म का उपयोग करके हम दिए गए व्यंजक को सरल करेंगे।

Step 2: व्यंजक को सरल करना

हम ग्रेटेस्ट इंटीजर फंक्शन के गुणधर्म का उपयोग करके दिए गए व्यंजक में प्रत्येक पद को प्रतिस्थापित करते हैं। यह हमें सीमा का मूल्यांकन करने के लिए व्यंजक को सरल बनाने में मदद करेगा।

Step 3: सीमा का मूल्यांकन

व्यंजक को विस्तारित करने पर, हम देखते हैं कि $x \cdot \frac{k}{x} = k$ और $x^2 \cdot \frac{k^2}{x^2} = k^2$ । चूंकि $0 \leq \{t\} < 1$ , इसलिए $0 \leq x \left\{\frac{k}{x}\right\} < x$ और $0 \leq x^2 \left\{\frac{k^2}{x^2}\right\} < x^2$ । जैसे ही $x \to 0^+$ , $x \left\{\frac{k}{x}\right\}$ और $x^2 \left\{\frac{k^2}{x^2}\right\}$ दोनों $0$ की ओर अग्रसर होते हैं।

Step 4: सरलीकृत सीमा

सीमा का मूल्यांकन करने के बाद, हमें पहले $p$ प्राकृतिक संख्याओं के योग और पहले $p$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का अंतर मिलता है। हम इन योगों के लिए मानक सूत्रों का उपयोग करते हैं।

Step 5: असमानता को हल करना

अब हमें प्राप्त असमानता $p(p+1)(1-p) \geq 3$ को हल करना है। हम $p$ के विभिन्न प्राकृतिक मानों के लिए इस असमानता की जाँच करेंगे।

Step 6: p का न्यूनतम मान ज्ञात करना

हम $p$ के प्राकृतिक मानों के लिए असमानता का परीक्षण करते हैं। $p=1$ के लिए, व्यंजक $0$ है, जो $3$ से कम है। $p=2$ के लिए, व्यंजक $-6$ है, जो $3$ से कम है। चूंकि $p(p+1)(1-p)$ $p \geq 1$ के लिए हमेशा गैर-धनात्मक होता है (क्योंकि $1-p \leq 0$ ), और $p(p+1)$ धनात्मक होता है, इसलिए $p(p+1)(1-p)$ कभी भी $3$ से बड़ा या उसके बराबर नहीं हो सकता। इसलिए, ऐसा कोई प्राकृतिक संख्या $p$ मौजूद नहीं है जो दी गई असमानता को संतुष्ट करता हो।

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