समांतर श्रेणी (A.P.) के n -वें पद का सूत्र T_n = a + (n-1)d होता है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है। पहले n पदों का योग Σ_r=1^(n) T_r = (n)/(2)(2a + (n-1)d) होता है। हम इन सूत्रों का उपयोग दी गई जानकारी को समीकरणों में बदलने के लिए करेंगे।

समांतर श्रेणी (A.P.) के n -वें पद का सूत्र T_n = a + (n-1)d होता है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है। पहले n पदों का योग Σ_r=1^(n) T_r = (n)/(2)(2a + (n-1)d) होता है। हम इन सूत्रों का उपयोग दी गई जानकारी को समीकरणों में बदलने के लिए करेंगे।

हमें 5m Σ_r=m²m T_r का मान ज्ञात करना है। m=20 का मान प्रतिस्थापित करने पर, यह 100 Σ_r=20^(40) T_r हो जाता है। हम योग को Σ_r=1^(40) T_r - Σ_r=1^(19) T_r के रूप में लिख सकते हैं। फिर हम a और d के मानों का उपयोग करके प्रत्येक योग की गणना करते हैं और परिणाम को सरल करते हैं।

हमें 5m Σ_r=m²m T_r का मान ज्ञात करना है। m=20 का मान प्रतिस्थापित करने पर, यह 100 Σ_r=20^(40) T_r हो जाता है। हम योग को Σ_r=1^(40) T_r - Σ_r=1^(19) T_r के रूप में लिख सकते हैं। फिर हम a और d के मानों का उपयोग करके प्रत्येक योग की गणना करते हैं और परिणाम को सरल करते हैं।

Let $T_r$ be the $r^{\text{th}}$ term of an A.P. If for some $m$ , $T_m = \frac{1}{25}$ , $T_{25} = \frac{1}{20}$ , and $20 \sum_{r=1}^{25} T_r = 13$ , then $5m \sum_{r=m}^{2m} T_r$ is equal to

Answer: $126$

Step-by-step solution

Step 1: समांतर श्रेणी के पदों और योग के सूत्र का उपयोग करना

समांतर श्रेणी (A.P.) के $n$ -वें पद का सूत्र $T_n = a + (n-1)d$ होता है, जहाँ $a$ पहला पद है और $d$ सार्व अंतर है। पहले $n$ पदों का योग $\sum_{r=1}^{n} T_r = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ होता है। हम इन सूत्रों का उपयोग दी गई जानकारी को समीकरणों में बदलने के लिए करेंगे।

Step 2: दिए गए मानों से समीकरण बनाना

दिए गए मानों $T_m = \frac{1}{25}$ , $T_{25} = \frac{1}{20}$ और $20 \sum_{r=1}^{25} T_r = 13$ का उपयोग करके, हम तीन समीकरण बनाते हैं। समीकरण (3) को सरल करने पर $250(2a + 24d) = 13$ प्राप्त होता है।

Step 3: $a$ और $d$ के मान ज्ञात करना

समीकरण (3) को सरल करके $a + 12d = \frac{13}{500}$ प्राप्त होता है। अब, समीकरण (2) से इस नए समीकरण को घटाकर हम $d$ का मान ज्ञात करते हैं। $d$ का मान प्राप्त होने के बाद, हम इसे किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करके $a$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 4: $m$ का मान ज्ञात करना

अब जब हमारे पास $a$ और $d$ के मान हैं, तो हम समीकरण (1) में इन मानों को प्रतिस्थापित करके $m$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 5: वांछित योग की गणना करना

हमें $5m \sum_{r=m}^{2m} T_r$ का मान ज्ञात करना है। $m=20$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, यह $100 \sum_{r=20}^{40} T_r$ हो जाता है। हम योग को $\sum_{r=1}^{40} T_r - \sum_{r=1}^{19} T_r$ के रूप में लिख सकते हैं। फिर हम $a$ और $d$ के मानों का उपयोग करके प्रत्येक योग की गणना करते हैं और परिणाम को सरल करते हैं।

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Let TrT_rTr​ be the rthr^{\text{th}}rth term of an A.P. If for some mmm, Tm=125T_m = \frac{1}{25}Tm​=251​, T25=120T_{25} = \frac{1}{20}T25​=201​, and 20∑r=125Tr=1320 \sum_{r=1}^{25} T_r = 1320∑r=125​Tr​=13, then 5m∑r=m2mTr5m \sum_{r=m}^{2m} T_r5m∑r=m2m​Tr​ is equal to