Let Tr be the rth term of an A.P. If for some m, Tm=251, T25=201, and 20∑r=125Tr=13, then 5m∑r=m2mTr is equal to
Get the complete, step-by-step math solution for: "Let T_r be the r^{th} term of an A.P. If for some m, T_m = (1)/(25), T_{25} = (1)/(20), and 20 _{r=1}^{25} T_r = 13, then 5m _{r=m}^{2m} T_r is equal ...". Powered by SolveForX AI math tutor.
Step-by-Step Solution
Step 1: समांतर श्रेणी के पदों और योग के सूत्र का उपयोग करना
समांतर श्रेणी (A.P.) के n -वें पद का सूत्र Tn=a+(n−1)d होता है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है। पहले n पदों का योग ∑r=1nTr=2n(2a+(n−1)d) होता है। हम इन सूत्रों का उपयोग दी गई जानकारी को समीकरणों में बदलने के लिए करेंगे।
Step 2: दिए गए मानों से समीकरण बनाना
दिए गए मानों Tm=251, T25=201 और 20∑r=125Tr=13 का उपयोग करके, हम तीन समीकरण बनाते हैं। समीकरण (3) को सरल करने पर 250(2a+24d)=13 प्राप्त होता है।
Step 3: a और d के मान ज्ञात करना
समीकरण (3) को सरल करके a+12d=50013 प्राप्त होता है। अब, समीकरण (2) से इस नए समीकरण को घटाकर हम d का मान ज्ञात करते हैं। d का मान प्राप्त होने के बाद, हम इसे किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करके a का मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 4: m का मान ज्ञात करना
अब जब हमारे पास a और d के मान हैं, तो हम समीकरण (1) में इन मानों को प्रतिस्थापित करके m का मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 5: वांछित योग की गणना करना
हमें 5m∑r=m2mTr का मान ज्ञात करना है। m=20 का मान प्रतिस्थापित करने पर, यह 100∑r=2040Tr हो जाता है। हम योग को ∑r=140Tr−∑r=119Tr के रूप में लिख सकते हैं। फिर हम a और d के मानों का उपयोग करके प्रत्येक योग की गणना करते हैं और परिणाम को सरल करते हैं।