Let the angle θ\theta, 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}, be the angle between two unit vectors a^\hat{a} and b^\hat{b}, and θ=sin⁡−1(659)\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{65}}{9}\right). If the vector c⃗=3a^+6b^+9(a^×b^)\vec{c} = 3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b}), then the value of 9(c⃗⋅a^)−3(c⃗⋅b^)9(\vec{c} \cdot \hat{a}) - 3(\vec{c} \cdot \hat{b}) is:

Answer: 29

Step-by-step solution

Step 1: दिए गए सदिशों के बीच कोण ज्ञात करें

हमें दो इकाई सदिशों a^\hat{a} और b^\hat{b} के बीच का कोण θ\theta दिया गया है, जहाँ sin⁡θ=659\sin\theta = \frac{\sqrt{65}}{9} है। हम cos⁡θ\cos\theta का मान ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 का उपयोग करते हैं। चूंकि θ\theta एक न्यून कोण है (0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}), cos⁡θ\cos\theta धनात्मक होगा।

Step 2: सदिश c⃗\vec{c} का a^\hat{a} के साथ अदिश गुणनफल ज्ञात करें

अब हम सदिश c⃗\vec{c} का इकाई सदिश a^\hat{a} के साथ अदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि a^⋅a^=∣a^∣2=12=1\hat{a} \cdot \hat{a} = |\hat{a}|^2 = 1^2 = 1 और a^⋅b^=∣a^∣∣b^∣cos⁡θ=1⋅1⋅cos⁡θ=cos⁡θ\hat{a} \cdot \hat{b} = |\hat{a}||\hat{b}|\cos\theta = 1 \cdot 1 \cdot \cos\theta = \cos\theta । साथ ही, सदिश गुणनफल a^×b^\hat{a} \times \hat{b} सदिश a^\hat{a} के लंबवत होता है, इसलिए (a^×b^)⋅a^=0(\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{a} = 0 ।

Step 3: सदिश c⃗\vec{c} का b^\hat{b} के साथ अदिश गुणनफल ज्ञात करें

इसी प्रकार, हम सदिश c⃗\vec{c} का इकाई सदिश b^\hat{b} के साथ अदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि b^⋅b^=∣b^∣2=12=1\hat{b} \cdot \hat{b} = |\hat{b}|^2 = 1^2 = 1 । साथ ही, सदिश गुणनफल a^×b^\hat{a} \times \hat{b} सदिश b^\hat{b} के लंबवत होता है, इसलिए (a^×b^)⋅b^=0(\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{b} = 0 ।

Step 4: अंतिम व्यंजक का मान ज्ञात करें

अब हम c⃗⋅a^\vec{c} \cdot \hat{a} और c⃗⋅b^\vec{c} \cdot \hat{b} के ज्ञात मानों को दिए गए व्यंजक 9(c⃗⋅a^)−3(c⃗⋅b^)9(\vec{c} \cdot \hat{a}) - 3(\vec{c} \cdot \hat{b}) में प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी मान की गणना करते हैं।

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