Let the angle θ, 0<θ<2π, be the angle between two unit vectors a^ and b^, and θ=sin−1(965). If the vector c=3a^+6b^+9(a^×b^), then the value of 9(c⋅a^)−3(c⋅b^) is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: दिए गए सदिशों के बीच कोण ज्ञात करें
हमें दो इकाई सदिशों a^ और b^ के बीच का कोण θ दिया गया है, जहाँ sinθ=965 है। हम cosθ का मान ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin2θ+cos2θ=1 का उपयोग करते हैं। चूंकि θ एक न्यून कोण है (0<θ<2π), cosθ धनात्मक होगा।
Step 2: सदिश c का a^ के साथ अदिश गुणनफल ज्ञात करें
अब हम सदिश c का इकाई सदिश a^ के साथ अदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि a^⋅a^=∣a^∣2=12=1 और a^⋅b^=∣a^∣∣b^∣cosθ=1⋅1⋅cosθ=cosθ । साथ ही, सदिश गुणनफल a^×b^ सदिश a^ के लंबवत होता है, इसलिए (a^×b^)⋅a^=0 ।
Step 3: सदिश c का b^ के साथ अदिश गुणनफल ज्ञात करें
इसी प्रकार, हम सदिश c का इकाई सदिश b^ के साथ अदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं। हम जानते हैं कि b^⋅b^=∣b^∣2=12=1 । साथ ही, सदिश गुणनफल a^×b^ सदिश b^ के लंबवत होता है, इसलिए (a^×b^)⋅b^=0 ।
Step 4: अंतिम व्यंजक का मान ज्ञात करें
अब हम c⋅a^ और c⋅b^ के ज्ञात मानों को दिए गए व्यंजक 9(c⋅a^)−3(c⋅b^) में प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी मान की गणना करते हैं।