हम एक वृत्त पर विचार करते हैं जिसका केंद्र मूल बिंदु (0,0) पर है और त्रिज्या r है। हम OA को x -अक्ष के अनुदिश रखते हैं। इस प्रकार, OA के घटक (r, 0) होंगे। चूंकि AOB = 15^°, OB के घटक (rcos 15^°, rsin 15^°) होंगे। इसी प्रकार, AOC = 90^°, इसलिए OC के घटक (rcos 90^°, rsin 90^°) होंगे, जो (0, r) के बराबर है।

हम एक वृत्त पर विचार करते हैं जिसका केंद्र मूल बिंदु (0,0) पर है और त्रिज्या r है। हम OA को x -अक्ष के अनुदिश रखते हैं। इस प्रकार, OA के घटक (r, 0) होंगे। चूंकि AOB = 15^°, OB के घटक (rcos 15^°, rsin 15^°) होंगे। इसी प्रकार, AOC = 90^°, इसलिए OC के घटक (rcos 90^°, rsin 90^°) होंगे, जो (0, r) के बराबर है।

हमें दिया गया है कि OC = α OA + β OB। हम सदिशों के घटकों को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। x और y घटकों की तुलना करने पर, हमें α और β के लिए दो समीकरण मिलते हैं। इन समीकरणों को हल करके, हम β = (1)/(sin 15^°) और α = -cot 15^° प्राप्त करते हैं।

हमें दिया गया है कि OC = α OA + β OB। हम सदिशों के घटकों को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। x और y घटकों की तुलना करने पर, हमें α और β के लिए दो समीकरण मिलते हैं। इन समीकरणों को हल करके, हम β = (1)/(sin 15^°) और α = -cot 15^° प्राप्त करते हैं।

अब हम sin 15^° और cos 15^° के मान ज्ञात करते हैं। हम sin(A-B) और cos(A-B) के सूत्र का उपयोग करते हैं, जहाँ A=45^° और B=30^° है। इन मानों का उपयोग करके, हम cot 15^° का मान भी ज्ञात करते हैं।

अब हम sin 15^° और cos 15^° के मान ज्ञात करते हैं। हम sin(A-B) और cos(A-B) के सूत्र का उपयोग करते हैं, जहाँ A=45^° और B=30^° है। इन मानों का उपयोग करके, हम cot 15^° का मान भी ज्ञात करते हैं।

अब हम α और β के मानों को दिए गए व्यंजक α + √2(√3 - 1) β में प्रतिस्थापित करते हैं। सरल करने पर, हमें अंतिम मान प्राप्त होता है।

अब हम α और β के मानों को दिए गए व्यंजक α + √2(√3 - 1) β में प्रतिस्थापित करते हैं। सरल करने पर, हमें अंतिम मान प्राप्त होता है।

Let the arc $AC$ of a circle subtend a right angle at the centre $O$ . If the point $B$ on the arc $AC$ , divides the arc $AC$ such that $\frac{\text{length of arc } AB}{\text{length of arc } BC} = \frac{1}{5}$ , and $\overrightarrow{OC} = \alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB}$ , then $\alpha + \sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) \beta$ is equal to

Answer: $2 - \sqrt{3}$

Step-by-step solution

Step 1: चाप की लंबाई और कोण ज्ञात करना

हमें दिया गया है कि चाप $AC$ केंद्र $O$ पर $90^\circ$ का कोण बनाता है, जिसका अर्थ है $\angle AOC = 90^\circ$ । चाप $B$ चाप $AC$ को इस प्रकार विभाजित करता है कि चाप $AB$ की लंबाई और चाप $BC$ की लंबाई का अनुपात $1:5$ है। चूंकि चाप की लंबाई केंद्र पर बने कोण के समानुपाती होती है, इसलिए $\angle AOB$ और $\angle BOC$ का अनुपात भी $1:5$ होगा। यदि हम $\angle AOB = \theta$ मानते हैं, तो $\angle BOC = 5\theta$ होगा। इन दोनों कोणों का योग $\angle AOC$ के बराबर होगा, जो $90^\circ$ है। इस प्रकार, हम $\theta$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 2: सदिशों को घटकों में व्यक्त करना

हम एक वृत्त पर विचार करते हैं जिसका केंद्र मूल बिंदु $(0{,}0)$ पर है और त्रिज्या $r$ है। हम $\overrightarrow{OA}$ को $x$ -अक्ष के अनुदिश रखते हैं। इस प्रकार, $\overrightarrow{OA}$ के घटक $(r, 0)$ होंगे। चूंकि $\angle AOB = 15^\circ$ , $\overrightarrow{OB}$ के घटक $(r\cos 15^\circ, r\sin 15^\circ)$ होंगे। इसी प्रकार, $\angle AOC = 90^\circ$ , इसलिए $\overrightarrow{OC}$ के घटक $(r\cos 90^\circ, r\sin 90^\circ)$ होंगे, जो $(0, r)$ के बराबर है।

Step 3: सदिश समीकरण का उपयोग करके $\alpha$ और $\beta$ ज्ञात करना

हमें दिया गया है कि $\overrightarrow{OC} = \alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB}$ । हम सदिशों के घटकों को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। $x$ और $y$ घटकों की तुलना करने पर, हमें $\alpha$ और $\beta$ के लिए दो समीकरण मिलते हैं। इन समीकरणों को हल करके, हम $\beta = \frac{1}{\sin 15^\circ}$ और $\alpha = -\cot 15^\circ$ प्राप्त करते हैं।

Step 4: त्रिकोणमितीय मानों की गणना

अब हम $\sin 15^\circ$ और $\cos 15^\circ$ के मान ज्ञात करते हैं। हम $\sin(A-B)$ और $\cos(A-B)$ के सूत्र का उपयोग करते हैं, जहाँ $A=45^\circ$ और $B=30^\circ$ है। इन मानों का उपयोग करके, हम $\cot 15^\circ$ का मान भी ज्ञात करते हैं।

Step 5: अंतिम व्यंजक का मान ज्ञात करना

अब हम $\alpha$ और $\beta$ के मानों को दिए गए व्यंजक $\alpha + \sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) \beta$ में प्रतिस्थापित करते हैं। सरल करने पर, हमें अंतिम मान प्राप्त होता है।

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