Let the arc AC of a circle subtend a right angle at the centre O. If the point B on the arc AC, divides the arc AC such that length of arc BClength of arc AB=51, and OC=αOA+βOB, then α+2(3−1)β is equal to
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Step-by-Step Solution
Step 1: चाप की लंबाई और कोण ज्ञात करना
हमें दिया गया है कि चाप AC केंद्र O पर 90∘ का कोण बनाता है, जिसका अर्थ है ∠AOC=90∘ । चाप B चाप AC को इस प्रकार विभाजित करता है कि चाप AB की लंबाई और चाप BC की लंबाई का अनुपात 1:5 है। चूंकि चाप की लंबाई केंद्र पर बने कोण के समानुपाती होती है, इसलिए ∠AOB और ∠BOC का अनुपात भी 1:5 होगा। यदि हम ∠AOB=θ मानते हैं, तो ∠BOC=5θ होगा। इन दोनों कोणों का योग ∠AOC के बराबर होगा, जो 90∘ है। इस प्रकार, हम θ का मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 2: सदिशों को घटकों में व्यक्त करना
हम एक वृत्त पर विचार करते हैं जिसका केंद्र मूल बिंदु (0,0) पर है और त्रिज्या r है। हम OA को x -अक्ष के अनुदिश रखते हैं। इस प्रकार, OA के घटक (r,0) होंगे। चूंकि ∠AOB=15∘, OB के घटक (rcos15∘,rsin15∘) होंगे। इसी प्रकार, ∠AOC=90∘, इसलिए OC के घटक (rcos90∘,rsin90∘) होंगे, जो (0,r) के बराबर है।
Step 3: सदिश समीकरण का उपयोग करके α और β ज्ञात करना
हमें दिया गया है कि OC=αOA+βOB । हम सदिशों के घटकों को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। x और y घटकों की तुलना करने पर, हमें α और β के लिए दो समीकरण मिलते हैं। इन समीकरणों को हल करके, हम β=sin15∘1 और α=−cot15∘ प्राप्त करते हैं।
Step 4: त्रिकोणमितीय मानों की गणना
अब हम sin15∘ और cos15∘ के मान ज्ञात करते हैं। हम sin(A−B) और cos(A−B) के सूत्र का उपयोग करते हैं, जहाँ A=45∘ और B=30∘ है। इन मानों का उपयोग करके, हम cot15∘ का मान भी ज्ञात करते हैं।
Step 5: अंतिम व्यंजक का मान ज्ञात करना
अब हम α और β के मानों को दिए गए व्यंजक α+2(3−1)β में प्रतिस्थापित करते हैं। सरल करने पर, हमें अंतिम मान प्राप्त होता है।