हमें दो वक्र दिए गए हैं: पहला |y|=1-x² और दूसरा x²+y²=1। पहले वक्र को y = 1-x² और y = -(1-x²) के रूप में लिखा जा सकता है। y = 1-x² एक परवलय है जो y -अक्ष के परितः सममित है और इसका शीर्ष (0,1) पर है। y = -(1-x²) भी एक परवलय है जो y -अक्ष के परितः सममित है और इसका शीर्ष (0,-1) पर है। दूसरा वक्र x²+y²=1 मूल बिंदु (0,0) पर केंद्रित और 1 इकाई त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

हमें दो वक्र दिए गए हैं: पहला |y|=1-x² और दूसरा x²+y²=1। पहले वक्र को y = 1-x² और y = -(1-x²) के रूप में लिखा जा सकता है। y = 1-x² एक परवलय है जो y -अक्ष के परितः सममित है और इसका शीर्ष (0,1) पर है। y = -(1-x²) भी एक परवलय है जो y -अक्ष के परितः सममित है और इसका शीर्ष (0,-1) पर है। दूसरा वक्र x²+y²=1 मूल बिंदु (0,0) पर केंद्रित और 1 इकाई त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम |y|=1-x² को y²=(1-x²)² के रूप में लिख सकते हैं और इसे वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इससे हमें x²+(1-x²)²=1 प्राप्त होता है। इस समीकरण को हल करने पर x=0, x=1, x=-1 प्राप्त होता है। जब x=0, y=± 1। जब x=± 1, y=0। इस प्रकार, प्रतिच्छेदन बिंदु (0,1), (0,-1), (1,0) और (-1,0) हैं।

वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम |y|=1-x² को y²=(1-x²)² के रूप में लिख सकते हैं और इसे वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इससे हमें x²+(1-x²)²=1 प्राप्त होता है। इस समीकरण को हल करने पर x=0, x=1, x=-1 प्राप्त होता है। जब x=0, y=± 1। जब x=± 1, y=0। इस प्रकार, प्रतिच्छेदन बिंदु (0,1), (0,-1), (1,0) और (-1,0) हैं।

समरूपता के कारण, हम पहले चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं और इसे 4 से गुणा कर सकते हैं, या x -अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं और इसे 2 से गुणा कर सकते हैं। x -अक्ष के ऊपर, परवलय y=1-x² वृत्त y=√(1-x²) से ऊपर है। इसलिए, x=0 से x=1 तक परवलय और वृत्त के बीच का क्षेत्रफल ∫_0^1 ((1-x²) - √(1-x²)) dx है। पूरे घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल α = 2 ∫_0^1 ((1-x²) - √(1-x²)) dx होगा। इस समाकलन को हल करने पर α = (4)/(3) - (π)/(2) प्राप्त होता है।

समरूपता के कारण, हम पहले चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं और इसे 4 से गुणा कर सकते हैं, या x -अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं और इसे 2 से गुणा कर सकते हैं। x -अक्ष के ऊपर, परवलय y=1-x² वृत्त y=√(1-x²) से ऊपर है। इसलिए, x=0 से x=1 तक परवलय और वृत्त के बीच का क्षेत्रफल ∫_0^1 ((1-x²) - √(1-x²)) dx है। पूरे घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल α = 2 ∫_0^1 ((1-x²) - √(1-x²)) dx होगा। इस समाकलन को हल करने पर α = (4)/(3) - (π)/(2) प्राप्त होता है।

हमें दिया गया है कि 9α = βπ +। α के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 9((4)/(3) - (π)/(2)) = 12 - (9π)/(2) प्राप्त होता है। इसे βπ + के रूप में लिखने पर, हमें β = -(9)/(2) और = 12 प्राप्त होता है।

हमें दिया गया है कि 9α = βπ +। α के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 9((4)/(3) - (π)/(2)) = 12 - (9π)/(2) प्राप्त होता है। इसे βπ + के रूप में लिखने पर, हमें β = -(9)/(2) और = 12 प्राप्त होता है।

हमें |β- | का मान ज्ञात करना है। β = -(9)/(2) और = 12 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें |-(9)/(2) - 12| प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर |-(33)/(2)| = (33)/(2) प्राप्त होता है।

हमें |β- | का मान ज्ञात करना है। β = -(9)/(2) और = 12 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें |-(9)/(2) - 12| प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर |-(33)/(2)| = (33)/(2) प्राप्त होता है।

Let the area enclosed between the curves $|y|=1-x^2$ and $x^2+y^2=1$ be $\alpha$ . If $9\alpha=\beta\pi+\gamma$ , $\beta, \gamma$ are integers, then the value of $|\beta-\gamma|$ equals:

Answer: $\frac{33}{2}$

Step-by-step solution

Step 1: वक्रों को समझना

हमें दो वक्र दिए गए हैं: पहला $|y|=1-x^2$ और दूसरा $x^2+y^2=1$ । पहले वक्र को $y = 1-x^2$ और $y = -(1-x^2)$ के रूप में लिखा जा सकता है। $y = 1-x^2$ एक परवलय है जो $y$ -अक्ष के परितः सममित है और इसका शीर्ष $(0{,}1)$ पर है। $y = -(1-x^2)$ भी एक परवलय है जो $y$ -अक्ष के परितः सममित है और इसका शीर्ष $(0,-1)$ पर है। दूसरा वक्र $x^2+y^2=1$ मूल बिंदु $(0{,}0)$ पर केंद्रित और $1$ इकाई त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

Step 2: प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना

वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम $|y|=1-x^2$ को $y^2=(1-x^2)^2$ के रूप में लिख सकते हैं और इसे वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इससे हमें $x^2+(1-x^2)^2=1$ प्राप्त होता है। इस समीकरण को हल करने पर $x=0, x=1, x=-1$ प्राप्त होता है। जब $x=0$ , $y=\pm 1$ । जब $x=\pm 1$ , $y=0$ । इस प्रकार, प्रतिच्छेदन बिंदु $(0{,}1)$ , $(0,-1)$ , $(1{,}0)$ और $(-1{,}0)$ हैं।

Step 3: क्षेत्रफल की गणना

समरूपता के कारण, हम पहले चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं और इसे 4 से गुणा कर सकते हैं, या $x$ -अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं और इसे 2 से गुणा कर सकते हैं। $x$ -अक्ष के ऊपर, परवलय $y=1-x^2$ वृत्त $y=\sqrt{1-x^2}$ से ऊपर है। इसलिए, $x=0$ से $x=1$ तक परवलय और वृत्त के बीच का क्षेत्रफल $\int_0^1 ((1-x^2) - \sqrt{1-x^2}) dx$ है। पूरे घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $\alpha = 2 \int_0^1 ((1-x^2) - \sqrt{1-x^2}) dx$ होगा। इस समाकलन को हल करने पर $\alpha = \frac{4}{3} - \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

Step 4: बीटा और गामा के मान ज्ञात करना

हमें दिया गया है कि $9\alpha = \beta\pi + \gamma$ । $\alpha$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $9\left(\frac{4}{3} - \frac{\pi}{2}\right) = 12 - \frac{9\pi}{2}$ प्राप्त होता है। इसे $\beta\pi + \gamma$ के रूप में लिखने पर, हमें $\beta = -\frac{9}{2}$ और $\gamma = 12$ प्राप्त होता है।

Step 5: अंतिम मान की गणना

हमें $|\beta-\gamma|$ का मान ज्ञात करना है। $\beta = -\frac{9}{2}$ और $\gamma = 12$ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\left|-\frac{9}{2} - 12\right|$ प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर $\left|-\frac{33}{2}\right| = \frac{33}{2}$ प्राप्त होता है।

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Let the area enclosed between the curves ∣y∣=1−x2|y|=1-x^2∣y∣=1−x2 and x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1 be α\alphaα. If 9α=βπ+γ9\alpha=\beta\pi+\gamma9α=βπ+γ, β,γ\beta, \gammaβ,γ are integers, then the value of ∣β−γ∣|\beta-\gamma|∣β−γ∣ equals: