Let the area enclosed between the curves ∣y∣=1−x2 and x2+y2=1 be α. If 9α=βπ+γ, β,γ are integers, then the value of ∣β−γ∣ equals:
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Step-by-Step Solution
Step 1: वक्रों को समझना
हमें दो वक्र दिए गए हैं: पहला ∣y∣=1−x2 और दूसरा x2+y2=1 । पहले वक्र को y=1−x2 और y=−(1−x2) के रूप में लिखा जा सकता है। y=1−x2 एक परवलय है जो y -अक्ष के परितः सममित है और इसका शीर्ष (0,1) पर है। y=−(1−x2) भी एक परवलय है जो y -अक्ष के परितः सममित है और इसका शीर्ष (0,−1) पर है। दूसरा वक्र x2+y2=1 मूल बिंदु (0,0) पर केंद्रित और 1 इकाई त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
Step 2: प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना
वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम ∣y∣=1−x2 को y2=(1−x2)2 के रूप में लिख सकते हैं और इसे वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इससे हमें x2+(1−x2)2=1 प्राप्त होता है। इस समीकरण को हल करने पर x=0,x=1,x=−1 प्राप्त होता है। जब x=0, y=±1 । जब x=±1, y=0 । इस प्रकार, प्रतिच्छेदन बिंदु (0,1), (0,−1), (1,0) और (−1,0) हैं।
Step 3: क्षेत्रफल की गणना
समरूपता के कारण, हम पहले चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं और इसे 4 से गुणा कर सकते हैं, या x -अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं और इसे 2 से गुणा कर सकते हैं। x -अक्ष के ऊपर, परवलय y=1−x2 वृत्त y=1−x2 से ऊपर है। इसलिए, x=0 से x=1 तक परवलय और वृत्त के बीच का क्षेत्रफल ∫01((1−x2)−1−x2)dx है। पूरे घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल α=2∫01((1−x2)−1−x2)dx होगा। इस समाकलन को हल करने पर α=34−2π प्राप्त होता है।
Step 4: बीटा और गामा के मान ज्ञात करना
हमें दिया गया है कि 9α=βπ+γ । α के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 9(34−2π)=12−29π प्राप्त होता है। इसे βπ+γ के रूप में लिखने पर, हमें β=−29 और γ=12 प्राप्त होता है।
Step 5: अंतिम मान की गणना
हमें ∣β−γ∣ का मान ज्ञात करना है। β=−29 और γ=12 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें −29−12 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर −233=233 प्राप्त होता है।