चूंकि PQ रेखा x -अक्ष के समानांतर है, R(a, b) से PQ पर खींचा गया शीर्षलंब एक ऊर्ध्वाधर रेखा x=a होगी। ऑर्थोसेंटर O(2, (14)/(5)) का x -निर्देशांक 2 है, इसलिए a=2 होना चाहिए। अब हम a=2 और b के दोनों संभावित मानों का उपयोग करके c और d के मान ज्ञात करते हैं।

चूंकि PQ रेखा x -अक्ष के समानांतर है, R(a, b) से PQ पर खींचा गया शीर्षलंब एक ऊर्ध्वाधर रेखा x=a होगी। ऑर्थोसेंटर O(2, (14)/(5)) का x -निर्देशांक 2 है, इसलिए a=2 होना चाहिए। अब हम a=2 और b के दोनों संभावित मानों का उपयोग करके c और d के मान ज्ञात करते हैं।

Let the area of a $\triangle PQR$ with vertices $P(5, 4)$ , $Q(-2, 4)$ and $R(a, b)$ be 35 square units. If its orthocenter and centroid are $O\left(2, \frac{14}{5}\right)$ and $C(c, d)$ respectively, then $c + 2d$ is equal to

Answer: चूंकि प्रश्न में एक अद्वितीय उत्तर की अपेक्षा की जाती है, और $b$ के दो संभावित मान हैं, हमें यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या कोई अतिरिक्त बाधा है। हालांकि, दिए गए जानकारी के आधार पर, दोनों मान मान्य हैं। यदि $b = -6$ है, तो $c + 2d = 3$ । यदि $b = 14$ है, तो $c + 2d = \frac{49}{3}$ । आमतौर पर, ऐसे प्रश्नों में एक अद्वितीय उत्तर होता है। यदि हम मानते हैं कि $b$ का मान ऐसा है कि त्रिभुज का ऑर्थोसेंटर $O(2, \frac{14}{5})$ है, तो $a=2$ होना चाहिए। $b$ के दोनों मानों के लिए $c+2d$ के दो अलग-अलग मान प्राप्त होते हैं। यदि प्रश्न में कोई और जानकारी नहीं दी गई है, तो दोनों उत्तर मान्य हैं।

Step-by-step solution

Step 1: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

त्रिभुज के शीर्षों $P(x_1, y_1)$ , $Q(x_2, y_2)$ और $R(x_3, y_3)$ के निर्देशांक दिए गए हैं। हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके $a$ का मान ज्ञात कर सकते हैं। हमें दिया गया है कि क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई है।

Step 2: a का मान ज्ञात करना

दिए गए निर्देशांकों $P(5, 4)$ , $Q(-2, 4)$ और $R(a, b)$ को क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम $a$ के मान को हल करते हैं। चूंकि $P$ और $Q$ का $y$ -निर्देशांक समान है, $PQ$ रेखा $x$ -अक्ष के समानांतर है। इसलिए, $a(4-4)$ पद शून्य हो जाता है, और हम $b$ के लिए दो संभावित मान प्राप्त करते हैं।

Step 3: केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात करना

केन्द्रक के निर्देशांक त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांकों का औसत होते हैं। हम $P(5, 4)$ , $Q(-2, 4)$ और $R(a, b)$ का उपयोग करके केन्द्रक $C(c, d)$ के लिए सूत्र लागू करते हैं।

Step 4: ऑर्थोसेंटर और केन्द्रक के बीच संबंध

ऑर्थोसेंटर, केन्द्रक और परिकेन्द्र एक ही रेखा पर स्थित होते हैं, जिसे यूलर रेखा कहा जाता है। केन्द्रक ऑर्थोसेंटर और परिकेन्द्र को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। हालांकि, इस समस्या में, हम एक विशेष स्थिति का उपयोग कर सकते हैं। चूंकि $P(5, 4)$ और $Q(-2, 4)$ का $y$ -निर्देशांक समान है, $PQ$ रेखा $x$ -अक्ष के समानांतर है। इसलिए, $R(a, b)$ से $PQ$ पर खींचा गया शीर्षलंब एक ऊर्ध्वाधर रेखा होगी, जिसका समीकरण $x=a$ होगा। ऑर्थोसेंटर का $x$ -निर्देशांक $a$ के बराबर होना चाहिए।

Step 5: a और b के मान ज्ञात करना

चूंकि $PQ$ रेखा $x$ -अक्ष के समानांतर है, $R(a, b)$ से $PQ$ पर खींचा गया शीर्षलंब एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x=a$ होगी। ऑर्थोसेंटर $O(2, \frac{14}{5})$ का $x$ -निर्देशांक $2$ है, इसलिए $a=2$ होना चाहिए। अब हम $a=2$ और $b$ के दोनों संभावित मानों का उपयोग करके $c$ और $d$ के मान ज्ञात करते हैं।

Step 6: c + 2d का मान ज्ञात करना

हमने $b$ के लिए दो संभावित मान प्राप्त किए हैं। हम प्रत्येक मान के लिए $c + 2d$ की गणना करते हैं।

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