Let the area of a △PQR with vertices P(5,4), Q(−2,4) and R(a, b) be 35 square units. If its orthocenter and centroid are O(2,514) and C(c, d) respectively, then c + 2d is equal to
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Step-by-Step Solution
Step 1: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना
त्रिभुज के शीर्षों P(x1,y1), Q(x2,y2) और R(x3,y3) के निर्देशांक दिए गए हैं। हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके a का मान ज्ञात कर सकते हैं। हमें दिया गया है कि क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई है।
Step 2: a का मान ज्ञात करना
दिए गए निर्देशांकों P(5,4), Q(−2,4) और R(a, b) को क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम a के मान को हल करते हैं। चूंकि P और Q का y -निर्देशांक समान है, PQ रेखा x -अक्ष के समानांतर है। इसलिए, a(4−4) पद शून्य हो जाता है, और हम b के लिए दो संभावित मान प्राप्त करते हैं।
Step 3: केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात करना
केन्द्रक के निर्देशांक त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांकों का औसत होते हैं। हम P(5,4), Q(−2,4) और R(a, b) का उपयोग करके केन्द्रक C(c, d) के लिए सूत्र लागू करते हैं।
Step 4: ऑर्थोसेंटर और केन्द्रक के बीच संबंध
ऑर्थोसेंटर, केन्द्रक और परिकेन्द्र एक ही रेखा पर स्थित होते हैं, जिसे यूलर रेखा कहा जाता है। केन्द्रक ऑर्थोसेंटर और परिकेन्द्र को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। हालांकि, इस समस्या में, हम एक विशेष स्थिति का उपयोग कर सकते हैं। चूंकि P(5,4) और Q(−2,4) का y -निर्देशांक समान है, PQ रेखा x -अक्ष के समानांतर है। इसलिए, R(a, b) से PQ पर खींचा गया शीर्षलंब एक ऊर्ध्वाधर रेखा होगी, जिसका समीकरण x=a होगा। ऑर्थोसेंटर का x -निर्देशांक a के बराबर होना चाहिए।
Step 5: a और b के मान ज्ञात करना
चूंकि PQ रेखा x -अक्ष के समानांतर है, R(a, b) से PQ पर खींचा गया शीर्षलंब एक ऊर्ध्वाधर रेखा x=a होगी। ऑर्थोसेंटर O(2,514) का x -निर्देशांक 2 है, इसलिए a=2 होना चाहिए। अब हम a=2 और b के दोनों संभावित मानों का उपयोग करके c और d के मान ज्ञात करते हैं।
Step 6: c + 2d का मान ज्ञात करना
हमने b के लिए दो संभावित मान प्राप्त किए हैं। हम प्रत्येक मान के लिए c + 2d की गणना करते हैं।