Let the area of the region {(x,y):2y≤x2+3,y+∣x∣≤3,y≥∣x−1∣} be A. Then 6A is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: क्षेत्र को परिभाषित करना
हमें उस क्षेत्र का क्षेत्रफल A ज्ञात करना है जो तीन असमानताओं द्वारा परिभाषित है। इन असमानताओं को अलग-अलग करके हम क्षेत्र की सीमाओं को निर्धारित करेंगे।
Step 2: असमानताओं को सरल बनाना और प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना
दी गई असमानताओं को सरल बनाने पर हमें तीन समीकरण मिलते हैं: एक परवलय y=2x2+23, दो रेखा खंड y=3−∣x∣ (जो y=3−x जब x≥0 और y=3+x जब x<0 है), और दो रेखा खंड y=∣x−1∣ (जो y=x−1 जब x≥1 और y=1−x जब x<1 है)। हमें इन वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करना होगा।
Step 3: प्रतिच्छेदन बिंदुओं की गणना
हमने विभिन्न वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए प्रत्येक असमानता के लिए अलग-अलग मामलों पर विचार किया। इससे हमें क्षेत्र के कोने मिलते हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु हैं: (−1,2), (1,2), और (2,1) ।
Step 4: क्षेत्रफल की गणना
क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हमने क्षेत्र को दो भागों में विभाजित किया: x=−1 से x=1 तक और x=1 से x=2 तक। प्रत्येक भाग के लिए, हमने ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर समाकलन किया। ऊपरी वक्र y=3−∣x∣ है और निचला वक्र y=2x2+23 है।
Step 5: अंतिम मान की गणना
क्षेत्रफल A=23 प्राप्त होने के बाद, हमने 6A का मान ज्ञात करने के लिए इसे 6 से गुणा किया।