दी गई असमानताओं को सरल बनाने पर हमें तीन समीकरण मिलते हैं: एक परवलय y = (x²)/(2) + (3)/(2), दो रेखा खंड y = 3 - |x| (जो y = 3 - x जब x ≥ 0 और y = 3 + x जब x < 0 है), और दो रेखा खंड y = |x-1| (जो y = x - 1 जब x ≥ 1 और y = 1 - x जब x < 1 है)। हमें इन वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करना होगा।

दी गई असमानताओं को सरल बनाने पर हमें तीन समीकरण मिलते हैं: एक परवलय y = (x²)/(2) + (3)/(2), दो रेखा खंड y = 3 - |x| (जो y = 3 - x जब x ≥ 0 और y = 3 + x जब x < 0 है), और दो रेखा खंड y = |x-1| (जो y = x - 1 जब x ≥ 1 और y = 1 - x जब x < 1 है)। हमें इन वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करना होगा।

Let the area of the region $\{(x, y): 2y \leq x^2 + 3, y + |x| \leq 3, y \geq |x-1|\}$ be $A$ . Then $6A$ is equal to:

Answer: $9$

Step-by-step solution

Step 1: क्षेत्र को परिभाषित करना

हमें उस क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ ज्ञात करना है जो तीन असमानताओं द्वारा परिभाषित है। इन असमानताओं को अलग-अलग करके हम क्षेत्र की सीमाओं को निर्धारित करेंगे।

Step 2: असमानताओं को सरल बनाना और प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना

दी गई असमानताओं को सरल बनाने पर हमें तीन समीकरण मिलते हैं: एक परवलय $y = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2}$ , दो रेखा खंड $y = 3 - |x|$ (जो $y = 3 - x$ जब $x \geq 0$ और $y = 3 + x$ जब $x < 0$ है), और दो रेखा खंड $y = |x-1|$ (जो $y = x - 1$ जब $x \geq 1$ और $y = 1 - x$ जब $x < 1$ है)। हमें इन वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करना होगा।

Step 3: प्रतिच्छेदन बिंदुओं की गणना

हमने विभिन्न वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए प्रत्येक असमानता के लिए अलग-अलग मामलों पर विचार किया। इससे हमें क्षेत्र के कोने मिलते हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु हैं: $(-1, 2)$ , $(1, 2)$ , और $(2, 1)$ ।

Step 4: क्षेत्रफल की गणना

क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हमने क्षेत्र को दो भागों में विभाजित किया: $x = -1$ से $x = 1$ तक और $x = 1$ से $x = 2$ तक। प्रत्येक भाग के लिए, हमने ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर समाकलन किया। ऊपरी वक्र $y = 3 - |x|$ है और निचला वक्र $y = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2}$ है।

Step 5: अंतिम मान की गणना

क्षेत्रफल $A = \frac{3}{2}$ प्राप्त होने के बाद, हमने $6A$ का मान ज्ञात करने के लिए इसे 6 से गुणा किया।

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Let the area of the region {(x,y):2y≤x2+3,y+∣x∣≤3,y≥∣x−1∣}\{(x, y): 2y \leq x^2 + 3, y + |x| \leq 3, y \geq |x-1|\}{(x,y):2y≤x2+3,y+∣x∣≤3,y≥∣x−1∣} be AAA. Then 6A6A6A is equal to: