अब हमारे पास त्रिभुज के तीन शीर्ष A(-2, 1, 0), B(3, 0, 1), और C(0, 3, 2) हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल A सदिश गुणनफल के परिमाण के आधे के बराबर होता है: A = (1)/(2) | AB × AC|. हम सदिश AB और AC की गणना करते हैं, फिर उनका सदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं। सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करने के बाद, हम A और A² की गणना करते हैं।

अब हमारे पास त्रिभुज के तीन शीर्ष A(-2, 1, 0), B(3, 0, 1), और C(0, 3, 2) हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल A सदिश गुणनफल के परिमाण के आधे के बराबर होता है: A = (1)/(2) | AB × AC|. हम सदिश AB और AC की गणना करते हैं, फिर उनका सदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं। सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करने के बाद, हम A और A² की गणना करते हैं।

Let the area of the triangle formed by the lines $x + 2 = y - 1 = z$ , $\frac{x - 3}{5} = \frac{y}{-1} = \frac{z - 1}{1}$ , and $\frac{x}{-3} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z - 2}{1}$ be $A$ . Then $A^2$ is equal to _____

Answer: $56$

Step-by-step solution

Step 1: रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना

सबसे पहले, हमें त्रिभुज बनाने वाली तीन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करना होगा। प्रत्येक रेखा को एक पैरामीट्रिक रूप में व्यक्त किया जाता है। पहली रेखा $L_1$ के लिए, हम $x = \lambda - 2$ , $y = \lambda + 1$ , $z = \lambda$ लिख सकते हैं। दूसरी रेखा $L_2$ के लिए, हम $x = 5\mu + 3$ , $y = -\mu$ , $z = \mu + 1$ लिख सकते हैं। तीसरी रेखा $L_3$ के लिए, हम $x = -3\nu$ , $y = 3\nu + 3$ , $z = \nu + 2$ लिख सकते हैं।

Step 2: प्रतिच्छेदन बिंदु A ज्ञात करना ( $L_1$ और $L_2$ )

रेखा $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु को ज्ञात करने के लिए, हम उनके $x, y, z$ निर्देशांकों को बराबर करते हैं। इससे हमें $\lambda$ और $\mu$ के लिए समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है। इन समीकरणों को हल करने पर $\mu = -1$ और $\lambda = 0$ प्राप्त होता है। इन मानों को $L_1$ या $L_2$ के पैरामीट्रिक समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर बिंदु $A(-2, 1, 0)$ प्राप्त होता है।

Step 3: प्रतिच्छेदन बिंदु B ज्ञात करना ( $L_2$ और $L_3$ )

इसी प्रकार, रेखा $L_2$ और $L_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु को ज्ञात करने के लिए, हम उनके $x, y, z$ निर्देशांकों को बराबर करते हैं। इससे हमें $\mu$ और $\nu$ के लिए समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है। इन समीकरणों को हल करने पर $\nu = -1$ और $\mu = 0$ प्राप्त होता है। इन मानों को $L_2$ या $L_3$ के पैरामीट्रिक समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर बिंदु $B(3, 0, 1)$ प्राप्त होता है।

Step 4: प्रतिच्छेदन बिंदु C ज्ञात करना ( $L_1$ और $L_3$ )

अंत में, रेखा $L_1$ और $L_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु को ज्ञात करने के लिए, हम उनके $x, y, z$ निर्देशांकों को बराबर करते हैं। इससे हमें $\lambda$ और $\nu$ के लिए समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है। इन समीकरणों को हल करने पर $\nu = 0$ और $\lambda = 2$ प्राप्त होता है। इन मानों को $L_1$ या $L_3$ के पैरामीट्रिक समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर बिंदु $C(0, 3, 2)$ प्राप्त होता है।

Step 5: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

अब हमारे पास त्रिभुज के तीन शीर्ष $A(-2, 1, 0)$ , $B(3, 0, 1)$ , और $C(0, 3, 2)$ हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल $A$ सदिश गुणनफल के परिमाण के आधे के बराबर होता है: $A = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ . हम सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ की गणना करते हैं, फिर उनका सदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं। सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करने के बाद, हम $A$ और $A^2$ की गणना करते हैं।

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Step-by-step solution

Step 1: रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना

Step 2: प्रतिच्छेदन बिंदु A ज्ञात करना (L1L_1L1​ और L2L_2L2​)

Step 3: प्रतिच्छेदन बिंदु B ज्ञात करना (L2L_2L2​ और L3L_3L3​)

Step 4: प्रतिच्छेदन बिंदु C ज्ञात करना (L1L_1L1​ और L3L_3L3​)

Step 5: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

Step 2: प्रतिच्छेदन बिंदु A ज्ञात करना ( $L_1$ और $L_2$ )

Step 3: प्रतिच्छेदन बिंदु B ज्ञात करना ( $L_2$ और $L_3$ )

Step 4: प्रतिच्छेदन बिंदु C ज्ञात करना ( $L_1$ और $L_3$ )