दूरी सूत्र का उपयोग करके, हम PQ², PR² और QR² के लिए व्यंजक लिखते हैं। चूंकि PQ² = PR² = QR² = s², हम इन समीकरणों को हल कर सकते हैं।

दूरी सूत्र का उपयोग करके, हम PQ², PR² और QR² के लिए व्यंजक लिखते हैं। चूंकि PQ² = PR² = QR² = s², हम इन समीकरणों को हल कर सकते हैं।

पहले दो समीकरणों से, हमें (x_Q - x_P)² + 1 = (x_R - x_P)² + 16 मिलता है। मान लीजिए x_Q - x_P = a और x_R - x_P = b। तो a² + 1 = b² + 16, जिसका अर्थ है b² - a² = -15। साथ ही, x_R - x_Q = (x_R - x_P) - (x_Q - x_P) = b - a।

पहले दो समीकरणों से, हमें (x_Q - x_P)² + 1 = (x_R - x_P)² + 16 मिलता है। मान लीजिए x_Q - x_P = a और x_R - x_P = b। तो a² + 1 = b² + 16, जिसका अर्थ है b² - a² = -15। साथ ही, x_R - x_Q = (x_R - x_P) - (x_Q - x_P) = b - a।

चूंकि PQ² = PR² = QR² = s², हम लिख सकते हैं: x_Q² + 1 = s² और x_R² + 16 = s²। इससे x_Q² = s² - 1 और x_R² = s² - 16 मिलता है।

चूंकि PQ² = PR² = QR² = s², हम लिख सकते हैं: x_Q² + 1 = s² और x_R² + 16 = s²। इससे x_Q² = s² - 1 और x_R² = s² - 16 मिलता है।

यदि हम Q को मूल बिंदु के चारों ओर 60^° घुमाते हैं, तो हमें R मिलता है। घूर्णन सूत्र का उपयोग करके, यदि (x,y) को 60^° घुमाया जाता है, तो नए निर्देशांक (x cos 60^° - y sin 60^°, x sin 60^° + y cos 60^°) होते हैं। यहाँ Q=(x_Q, -1) और R=(x_R, 4)।

यदि हम Q को मूल बिंदु के चारों ओर 60^° घुमाते हैं, तो हमें R मिलता है। घूर्णन सूत्र का उपयोग करके, यदि (x,y) को 60^° घुमाया जाता है, तो नए निर्देशांक (x cos 60^° - y sin 60^°, x sin 60^° + y cos 60^°) होते हैं। यहाँ Q=(x_Q, -1) और R=(x_R, 4)।

दूसरे समीकरण से, 8 = x_Q √3 - 1, इसलिए x_Q √3 = 9, और x_Q = (9)/(√3) = 3√3। इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, x_R = (3√3)/(2) + (√3)/(2) = (4√3)/(2) = 2√3।

दूसरे समीकरण से, 8 = x_Q √3 - 1, इसलिए x_Q √3 = 9, और x_Q = (9)/(√3) = 3√3। इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, x_R = (3√3)/(2) + (√3)/(2) = (4√3)/(2) = 2√3।

अब हम x_Q और x_R के मानों को QR² के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

Let the distance between two parallel lines be 5 units and a point $P$ lie between the lines at a unit distance from one of them. An equilateral triangle $PQR$ is formed such that $Q$ lies on one of the parallel lines, while $R$ lies on the other. Then $(QR)^2$ is equal to:

Answer: $(QR)^2 = 28$

Step-by-step solution

Step 1: समस्या को समझना और निर्देशांक निर्धारित करना

हम दो समांतर रेखाओं को $y=0$ और $y=5$ के रूप में मान सकते हैं। बिंदु $P$ रेखाओं के बीच में है और $y=0$ से 1 इकाई की दूरी पर है, इसलिए $P$ के निर्देशांक $(x_P, 1)$ होंगे। मान लीजिए $Q$ रेखा $y=0$ पर है, इसलिए $Q=(x_Q, 0)$ । मान लीजिए $R$ रेखा $y=5$ पर है, इसलिए $R=(x_R, 5)$ ।

Step 2: समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात करना

चूंकि $PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है, इसलिए इसकी सभी भुजाएँ बराबर होंगी। मान लीजिए भुजा की लंबाई $s$ है। हम दूरी सूत्र का उपयोग करके $PQ^2$ , $PR^2$ और $QR^2$ को व्यक्त कर सकते हैं।

Step 3: दूरी सूत्र का उपयोग करके समीकरण स्थापित करना

दूरी सूत्र का उपयोग करके, हम $PQ^2$ , $PR^2$ और $QR^2$ के लिए व्यंजक लिखते हैं। चूंकि $PQ^2 = PR^2 = QR^2 = s^2$ , हम इन समीकरणों को हल कर सकते हैं।

Step 4: समीकरणों को हल करना

पहले दो समीकरणों से, हमें $(x_Q - x_P)^2 + 1 = (x_R - x_P)^2 + 16$ मिलता है। मान लीजिए $x_Q - x_P = a$ और $x_R - x_P = b$ । तो $a^2 + 1 = b^2 + 16$ , जिसका अर्थ है $b^2 - a^2 = -15$ । साथ ही, $x_R - x_Q = (x_R - x_P) - (x_Q - x_P) = b - a$ ।

Step 5: अंतिम समीकरणों को हल करना

हम जानते हैं कि एक समबाहु त्रिभुज के लिए, भुजा की लंबाई $s$ है। हम $s^2$ के लिए एक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जो दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $h$ और बिंदु $P$ से एक रेखा की दूरी $h_1$ पर निर्भर करता है। सूत्र है $s^2 = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{h^2 - h_1^2 - (h-h_1)^2}{2} + h^2$ । इस मामले में, $h=5$ , $h_1=1$ और $h_2 = h-h_1 = 5-1=4$ ।

Step 6: समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई के लिए सूत्र का उपयोग करना

एक समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $s$ के लिए एक सामान्य सूत्र है, जब उसके शीर्ष समांतर रेखाओं पर स्थित होते हैं। यदि दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $h$ है, और बिंदु $P$ एक रेखा से $h_1$ दूरी पर है और दूसरी से $h_2$ दूरी पर है (जहाँ $h_1+h_2=h$ ), तो $s^2 = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \frac{h_1^2 + h_2^2 + h_1 h_2}{\sqrt{3}} \right) + h^2$ । यह सूत्र थोड़ा जटिल है। एक सरल दृष्टिकोण है कि हम $P$ को मूल बिंदु पर रखें और रेखाओं को $y=-1$ और $y=4$ पर रखें।

Step 7: वैकल्पिक दृष्टिकोण: $P$ को मूल बिंदु पर रखना

यदि हम $P$ को मूल बिंदु $(0{,}0)$ पर रखते हैं, तो रेखाएँ $y=-1$ और $y=4$ होंगी। $Q$ रेखा $y=-1$ पर है, इसलिए $Q=(x_Q, -1)$ । $R$ रेखा $y=4$ पर है, इसलिए $R=(x_R, 4)$ ।

Step 8: दूरी सूत्र का उपयोग करके $s^2$ ज्ञात करना

चूंकि $PQ^2 = PR^2 = QR^2 = s^2$ , हम लिख सकते हैं: $x_Q^2 + 1 = s^2$ और $x_R^2 + 16 = s^2$ । इससे $x_Q^2 = s^2 - 1$ और $x_R^2 = s^2 - 16$ मिलता है।

Step 9: समबाहु त्रिभुज के लिए घूर्णन का उपयोग करना

यदि हम $Q$ को मूल बिंदु के चारों ओर $60^\circ$ घुमाते हैं, तो हमें $R$ मिलता है। घूर्णन सूत्र का उपयोग करके, यदि $(x,y)$ को $60^\circ$ घुमाया जाता है, तो नए निर्देशांक $(x \cos 60^\circ - y \sin 60^\circ, x \sin 60^\circ + y \cos 60^\circ)$ होते हैं। यहाँ $Q=(x_Q, -1)$ और $R=(x_R, 4)$ ।

Step 10: घूर्णन समीकरणों को हल करना

दूसरे समीकरण से, $8 = x_Q \sqrt{3} - 1$ , इसलिए $x_Q \sqrt{3} = 9$ , और $x_Q = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ । इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, $x_R = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ ।

Step 11: $(QR)^2$ की गणना करना

अब हम $x_Q$ और $x_R$ के मानों को $QR^2$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

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Let the distance between two parallel lines be 5 units and a point PPP lie between the lines at a unit distance from one of them. An equilateral triangle PQRPQRPQR is formed such that QQQ lies on one of the parallel lines, while RRR lies on the other. Then (QR)2(QR)^2(QR)2 is equal to: