Let the distance between two parallel lines be 5 units and a point P lie between the lines at a unit distance from one of them. An equilateral triangle PQR is formed such that Q lies on one of the parallel lines, while R lies on the other. Then (QR)2 is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: समस्या को समझना और निर्देशांक निर्धारित करना
हम दो समांतर रेखाओं को y=0 और y=5 के रूप में मान सकते हैं। बिंदु P रेखाओं के बीच में है और y=0 से 1 इकाई की दूरी पर है, इसलिए P के निर्देशांक (xP,1) होंगे। मान लीजिए Q रेखा y=0 पर है, इसलिए Q=(xQ,0) । मान लीजिए R रेखा y=5 पर है, इसलिए R=(xR,5) ।
Step 2: समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात करना
चूंकि PQR एक समबाहु त्रिभुज है, इसलिए इसकी सभी भुजाएँ बराबर होंगी। मान लीजिए भुजा की लंबाई s है। हम दूरी सूत्र का उपयोग करके PQ2, PR2 और QR2 को व्यक्त कर सकते हैं।
Step 3: दूरी सूत्र का उपयोग करके समीकरण स्थापित करना
दूरी सूत्र का उपयोग करके, हम PQ2, PR2 और QR2 के लिए व्यंजक लिखते हैं। चूंकि PQ2=PR2=QR2=s2, हम इन समीकरणों को हल कर सकते हैं।
Step 4: समीकरणों को हल करना
पहले दो समीकरणों से, हमें (xQ−xP)2+1=(xR−xP)2+16 मिलता है। मान लीजिए xQ−xP=a और xR−xP=b । तो a2+1=b2+16, जिसका अर्थ है b2−a2=−15 । साथ ही, xR−xQ=(xR−xP)−(xQ−xP)=b−a ।
Step 5: अंतिम समीकरणों को हल करना
हम जानते हैं कि एक समबाहु त्रिभुज के लिए, भुजा की लंबाई s है। हम s2 के लिए एक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जो दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी h और बिंदु P से एक रेखा की दूरी h1 पर निर्भर करता है। सूत्र है s2=322h2−h12−(h−h1)2+h2 । इस मामले में, h=5, h1=1 और h2=h−h1=5−1=4 ।
Step 6: समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई के लिए सूत्र का उपयोग करना
एक समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई s के लिए एक सामान्य सूत्र है, जब उसके शीर्ष समांतर रेखाओं पर स्थित होते हैं। यदि दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी h है, और बिंदु P एक रेखा से h1 दूरी पर है और दूसरी से h2 दूरी पर है (जहाँ h1+h2=h), तो s2=32(3h12+h22+h1h2)+h2 । यह सूत्र थोड़ा जटिल है। एक सरल दृष्टिकोण है कि हम P को मूल बिंदु पर रखें और रेखाओं को y=−1 और y=4 पर रखें।
Step 7: वैकल्पिक दृष्टिकोण: P को मूल बिंदु पर रखना
यदि हम P को मूल बिंदु (0,0) पर रखते हैं, तो रेखाएँ y=−1 और y=4 होंगी। Q रेखा y=−1 पर है, इसलिए Q=(xQ,−1) । R रेखा y=4 पर है, इसलिए R=(xR,4) ।
Step 8: दूरी सूत्र का उपयोग करके s2 ज्ञात करना
चूंकि PQ2=PR2=QR2=s2, हम लिख सकते हैं: xQ2+1=s2 और xR2+16=s2 । इससे xQ2=s2−1 और xR2=s2−16 मिलता है।
Step 9: समबाहु त्रिभुज के लिए घूर्णन का उपयोग करना
यदि हम Q को मूल बिंदु के चारों ओर 60∘ घुमाते हैं, तो हमें R मिलता है। घूर्णन सूत्र का उपयोग करके, यदि (x,y) को 60∘ घुमाया जाता है, तो नए निर्देशांक (xcos60∘−ysin60∘,xsin60∘+ycos60∘) होते हैं। यहाँ Q=(xQ,−1) और R=(xR,4) ।
Step 10: घूर्णन समीकरणों को हल करना
दूसरे समीकरण से, 8=xQ3−1, इसलिए xQ3=9, और xQ=39=33 । इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, xR=233+23=243=23 ।
Step 11: (QR)2 की गणना करना
अब हम xQ और xR के मानों को QR2 के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।