Let the function f(x)=(x2+1)x2−ax+2+cos∣x∣ be not differentiable at the two points x=α=2 and x=β. Then the distance of the point (α,β) from the line 12x+5y+10=0 is equal to:
Get the complete, step-by-step math solution for: "Let the function f(x)=x²+1x²-ax+2+cos|x| be not differentiable at the two points x=α=2 and x=β. Then the distance of the point (α, β) from the line 12...". Powered by SolveForX AI math tutor.
Step-by-Step Solution
Step 1: फलन का विश्लेषण
हमें दिया गया फलन f(x)=(x2+1)x2−ax+2+cos∣x∣ है। हमें यह निर्धारित करना है कि यह फलन किन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।
Step 2: अवकलनीयता की शर्त
फलन f(x) में दो पद हैं: (x2+1)∣x2−ax+2∣ और cos∣x∣ ।
पहला पद (x2+1)∣x2−ax+2∣ अवकलनीय नहीं होगा यदि x2−ax+2=0 और 2x−a=0 ।
दूसरा पद cos∣x∣ केवल x=0 पर अवकलनीय नहीं है, क्योंकि cos∣x∣=cosx जब x≥0 और cos∣x∣=cos(−x)=cosx जब x<0 । इसलिए cos∣x∣ हमेशा अवकलनीय है, सिवाय x=0 के।
चूंकि x=α=2 पर फलन अवकलनीय नहीं है, और 2=0, इसलिए अवकलनीयता की समस्या ∣x2−ax+2∣ के कारण होनी चाहिए।
Step 3: अवकलनीयता के बिंदु ज्ञात करना
चूंकि f(x) x=2 पर अवकलनीय नहीं है, इसका मतलब है कि x=2 समीकरण x2−ax+2=0 का एक मूल है।
इसलिए, 22−a(2)+2=0⟹4−2a+2=0⟹6−2a=0⟹2a=6⟹a=3 ।
अब समीकरण x2−ax+2=0 बन जाता है x2−3x+2=0 ।
इस समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए, हम इसे गुणनखंडित करते हैं: (x−1)(x−2)=0 ।
तो, मूल x=1 और x=2 हैं।
हमें दिया गया है कि फलन x=α=2 और x=β पर अवकलनीय नहीं है।
इसलिए, β=1 ।
हमें यह भी जांचना होगा कि इन बिंदुओं पर g′(x)=0 है।
g(x)=x2−3x+2⟹g′(x)=2x−3 ।
x=2 पर, g′(2)=2(2)−3=4−3=1=0 ।
x=1 पर, g′(1)=2(1)−3=2−3=−1=0 ।
तो, α=2 और β=1 ।
Step 4: बिंदु (α,β) की रेखा से दूरी
हमें बिंदु (α,β)=(2,1) की रेखा 12x+5y+10=0 से दूरी ज्ञात करनी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए, जहाँ (x1,y1)=(2,1), A=12, B=5, C=10:
d=122+52∣12(2)+5(1)+10∣ d=144+25∣24+5+10∣ d=169∣39∣ d=1339 d=3