हमें दिया गया फलन f(x)=(x²+1)|x²-ax+2|+cos|x| है। हमें यह निर्धारित करना है कि यह फलन किन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।

हमें दिया गया फलन f(x)=(x²+1)|x²-ax+2|+cos|x| है। हमें यह निर्धारित करना है कि यह फलन किन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।

फलन f(x) में दो पद हैं: (x²+1)|x²-ax+2| और cos|x|। पहला पद (x²+1)|x²-ax+2| अवकलनीय नहीं होगा यदि x²-ax+2=0 और 2x-a ≠ 0। दूसरा पद cos|x| केवल x=0 पर अवकलनीय नहीं है, क्योंकि cos|x| = cos x जब x ≥ 0 और cos|x| = cos(-x) = cos x जब x < 0। इसलिए cos|x| हमेशा अवकलनीय है, सिवाय x=0 के। चूंकि x=α=2 पर फलन अवकलनीय नहीं है, और 2 ≠ 0, इसलिए अवकलनीयता की समस्या |x²-ax+2| के कारण होनी चाहिए।

फलन f(x) में दो पद हैं: (x²+1)|x²-ax+2| और cos|x|। पहला पद (x²+1)|x²-ax+2| अवकलनीय नहीं होगा यदि x²-ax+2=0 और 2x-a ≠ 0। दूसरा पद cos|x| केवल x=0 पर अवकलनीय नहीं है, क्योंकि cos|x| = cos x जब x ≥ 0 और cos|x| = cos(-x) = cos x जब x < 0। इसलिए cos|x| हमेशा अवकलनीय है, सिवाय x=0 के। चूंकि x=α=2 पर फलन अवकलनीय नहीं है, और 2 ≠ 0, इसलिए अवकलनीयता की समस्या |x²-ax+2| के कारण होनी चाहिए।

Let the function $f(x)=\left(x^2+1\right)\left|x^2-ax+2\right|+\cos|x|$ be not differentiable at the two points $x=\alpha=2$ and $x=\beta$ . Then the distance of the point $(\alpha, \beta)$ from the line $12x+5y+10=0$ is equal to:

Answer: बिंदु $(\alpha, \beta)$ की रेखा $12x+5y+10=0$ से दूरी $3$ है।

Step-by-step solution

Step 1: फलन का विश्लेषण

हमें दिया गया फलन $f(x)=\left(x^2+1\right)\left|x^2-ax+2\right|+\cos|x|$ है। हमें यह निर्धारित करना है कि यह फलन किन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।

Step 2: अवकलनीयता की शर्त

फलन $f(x)$ में दो पद हैं: $(x^2+1)|x^2-ax+2|$ और $\cos|x|$ । पहला पद $(x^2+1)|x^2-ax+2|$ अवकलनीय नहीं होगा यदि $x^2-ax+2=0$ और $2x-a \neq 0$ । दूसरा पद $\cos|x|$ केवल $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है, क्योंकि $\cos|x| = \cos x$ जब $x \ge 0$ और $\cos|x| = \cos(-x) = \cos x$ जब $x < 0$ । इसलिए $\cos|x|$ हमेशा अवकलनीय है, सिवाय $x=0$ के। चूंकि $x=\alpha=2$ पर फलन अवकलनीय नहीं है, और $2 \neq 0$ , इसलिए अवकलनीयता की समस्या $|x^2-ax+2|$ के कारण होनी चाहिए।

Step 3: अवकलनीयता के बिंदु ज्ञात करना

चूंकि $f(x)$ $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है, इसका मतलब है कि $x=2$ समीकरण $x^2-ax+2=0$ का एक मूल है। इसलिए, $2^2 - a(2) + 2 = 0 \implies 4 - 2a + 2 = 0 \implies 6 - 2a = 0 \implies 2a = 6 \implies a = 3$ । अब समीकरण $x^2-ax+2=0$ बन जाता है $x^2-3x+2=0$ । इस समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए, हम इसे गुणनखंडित करते हैं: $(x-1)(x-2)=0$ । तो, मूल $x=1$ और $x=2$ हैं। हमें दिया गया है कि फलन $x=\alpha=2$ और $x=\beta$ पर अवकलनीय नहीं है। इसलिए, $\beta=1$ । हमें यह भी जांचना होगा कि इन बिंदुओं पर $g'(x) \neq 0$ है। $g(x) = x^2-3x+2 \implies g'(x) = 2x-3$ । $x=2$ पर, $g'(2) = 2(2)-3 = 4-3 = 1 \neq 0$ । $x=1$ पर, $g'(1) = 2(1)-3 = 2-3 = -1 \neq 0$ । तो, $\alpha=2$ और $\beta=1$ ।

Step 4: बिंदु $(\alpha, \beta)$ की रेखा से दूरी

हमें बिंदु $(\alpha, \beta) = (2, 1)$ की रेखा $12x+5y+10=0$ से दूरी ज्ञात करनी है। दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए, जहाँ $(x_1, y_1) = (2, 1)$ , $A=12$ , $B=5$ , $C=10$ : $d = \frac{|12(2)+5(1)+10|}{\sqrt{12^2+5^2}}$ $d = \frac{|24+5+10|}{\sqrt{144+25}}$ $d = \frac{|39|}{\sqrt{169}}$ $d = \frac{39}{13}$ $d = 3$

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Step-by-step solution

Step 1: फलन का विश्लेषण

Step 2: अवकलनीयता की शर्त

Step 3: अवकलनीयता के बिंदु ज्ञात करना

Step 4: बिंदु (α,β)(\alpha, \beta)(α,β) की रेखा से दूरी

Step 4: बिंदु $(\alpha, \beta)$ की रेखा से दूरी