Let the length of a latus rectum of an ellipse a2x2+b2y2=1 be 10. If its eccentricity is the minimum value of the function f(t)=t2+t+1211, t∈R, then a2+b2 is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: उत्केंद्रता का न्यूनतम मान ज्ञात करें
दी गई उत्केंद्रता फलन f(t)=t2+t+1211 है। इस द्विघात फलन का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम इसे पूर्ण वर्ग के रूप में लिख सकते हैं।
Step 2: पूर्ण वर्ग बनाकर न्यूनतम मान ज्ञात करें
फलन को पूर्ण वर्ग बनाने पर, हमें f(t)=(t+21)2+32 मिलता है। चूंकि (t+21)2≥0 है, इसलिए f(t) का न्यूनतम मान 32 होगा जब t=−21 हो। अतः, दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता e=32 है।
Step 3: नाभिलंब जीवा की लंबाई का उपयोग करें
दीर्घवृत्त की नाभिलंब जीवा की लंबाई 10 दी गई है। नाभिलंब जीवा की लंबाई का सूत्र a2b2 होता है।
Step 4: उत्केंद्रता और अर्ध-अक्षों के बीच संबंध का उपयोग करें
दीर्घवृत्त के अर्ध-दीर्घ अक्ष a, अर्ध-लघु अक्ष b और उत्केंद्रता e के बीच संबंध b2=a2(1−e2) होता है।
Step 5: समीकरणों को हल करें
नाभिलंब जीवा की लंबाई के सूत्र से b2=5a प्राप्त होता है। उत्केंद्रता के संबंध में e=32 का मान रखने पर, हमें a=9 मिलता है। फिर b2=5(9)=45 प्राप्त होता है।
Step 6: अंतिम मान ज्ञात करें
अब हम a2+b2 का मान ज्ञात कर सकते हैं। a=9 और b2=45 का मान रखने पर, हमें a2+b2=81+45=126 मिलता है।