फलन को पूर्ण वर्ग बनाने पर, हमें f(t) = (t + (1)/(2))² + (2)/(3) मिलता है। चूंकि (t + (1)/(2))² ≥ 0 है, इसलिए f(t) का न्यूनतम मान (2)/(3) होगा जब t = -(1)/(2) हो। अतः, दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता e = (2)/(3) है।

फलन को पूर्ण वर्ग बनाने पर, हमें f(t) = (t + (1)/(2))² + (2)/(3) मिलता है। चूंकि (t + (1)/(2))² ≥ 0 है, इसलिए f(t) का न्यूनतम मान (2)/(3) होगा जब t = -(1)/(2) हो। अतः, दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता e = (2)/(3) है।

नाभिलंब जीवा की लंबाई के सूत्र से b² = 5a प्राप्त होता है। उत्केंद्रता के संबंध में e = (2)/(3) का मान रखने पर, हमें a = 9 मिलता है। फिर b² = 5(9) = 45 प्राप्त होता है।

नाभिलंब जीवा की लंबाई के सूत्र से b² = 5a प्राप्त होता है। उत्केंद्रता के संबंध में e = (2)/(3) का मान रखने पर, हमें a = 9 मिलता है। फिर b² = 5(9) = 45 प्राप्त होता है।

अब हम a² + b² का मान ज्ञात कर सकते हैं। a = 9 और b² = 45 का मान रखने पर, हमें a² + b² = 81 + 45 = 126 मिलता है।

अब हम a² + b² का मान ज्ञात कर सकते हैं। a = 9 और b² = 45 का मान रखने पर, हमें a² + b² = 81 + 45 = 126 मिलता है।

Let the length of a latus rectum of an ellipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ be 10. If its eccentricity is the minimum value of the function $f(t) = t^2 + t + \tfrac{11}{12}$ , $t \in \mathbb{R}$ , then $a^2 + b^2$ is equal to:

Answer: $126$

Step-by-step solution

Step 1: उत्केंद्रता का न्यूनतम मान ज्ञात करें

दी गई उत्केंद्रता फलन $f(t) = t^2 + t + \frac{11}{12}$ है। इस द्विघात फलन का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम इसे पूर्ण वर्ग के रूप में लिख सकते हैं।

Step 2: पूर्ण वर्ग बनाकर न्यूनतम मान ज्ञात करें

फलन को पूर्ण वर्ग बनाने पर, हमें $f(t) = \left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{2}{3}$ मिलता है। चूंकि $\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$ है, इसलिए $f(t)$ का न्यूनतम मान $\frac{2}{3}$ होगा जब $t = -\frac{1}{2}$ हो। अतः, दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \frac{2}{3}$ है।

Step 3: नाभिलंब जीवा की लंबाई का उपयोग करें

दीर्घवृत्त की नाभिलंब जीवा की लंबाई $10$ दी गई है। नाभिलंब जीवा की लंबाई का सूत्र $\frac{2b^2}{a}$ होता है।

Step 4: उत्केंद्रता और अर्ध-अक्षों के बीच संबंध का उपयोग करें

दीर्घवृत्त के अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ , अर्ध-लघु अक्ष $b$ और उत्केंद्रता $e$ के बीच संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ होता है।

Step 5: समीकरणों को हल करें

नाभिलंब जीवा की लंबाई के सूत्र से $b^2 = 5a$ प्राप्त होता है। उत्केंद्रता के संबंध में $e = \frac{2}{3}$ का मान रखने पर, हमें $a = 9$ मिलता है। फिर $b^2 = 5(9) = 45$ प्राप्त होता है।

Step 6: अंतिम मान ज्ञात करें

अब हम $a^2 + b^2$ का मान ज्ञात कर सकते हैं। $a = 9$ और $b^2 = 45$ का मान रखने पर, हमें $a^2 + b^2 = 81 + 45 = 126$ मिलता है।

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