Let the line L pass through (1,1,1) and intersect the lines 2x−1=3y+1=4z−1and1x−3=2y−4=1z. Then, which of the following points lies on the line L?
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Step-by-Step Solution
Step 1: रेखाओं के सामान्य बिंदु ज्ञात करना
सबसे पहले, हम दी गई दोनों रेखाओं L1 और L2 के सामान्य बिंदुओं को पैरामीट्रिक रूप में व्यक्त करते हैं। इससे हमें इन रेखाओं पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक λ और μ के पदों में मिल जाते हैं।
Step 2: रेखाओं पर बिंदुओं के निर्देशांक
रेखा L1 पर कोई भी बिंदु P के निर्देशांक (1+2λ,−1+3λ,1+4λ) होंगे, और रेखा L2 पर कोई भी बिंदु Q के निर्देशांक (3+μ,4+2μ,μ) होंगे।
Step 3: रेखा L के लिए दिशा अनुपात
रेखा L बिंदु A(1,1,1) से होकर गुजरती है और L1 तथा L2 को प्रतिच्छेद करती है। इसका मतलब है कि L1 पर एक बिंदु P और L2 पर एक बिंदु Q ऐसा होगा कि A, P, Q संरेखीय होंगे। हम A से P और A से Q तक के सदिशों के दिशा अनुपात ज्ञात करते हैं।
Step 4: संरेखीयता की शर्त का उपयोग करना
चूंकि बिंदु A, P, Q संरेखीय हैं, इसलिए सदिश AP और AQ समानांतर होंगे। इसका अर्थ है कि उनके दिशा अनुपात समानुपाती होंगे।
Step 5: पैरामीटर मानों को हल करना
हम संरेखीयता की शर्त से प्राप्त समीकरणों को हल करके λ और μ के मान ज्ञात करते हैं। इससे हमें उन विशिष्ट बिंदुओं P और Q के लिए पैरामीटर मान मिलते हैं जो रेखा L पर स्थित हैं।
Step 6: रेखा L पर बिंदु ज्ञात करना
अब हम λ और μ के मानों को P और Q के निर्देशांकों में प्रतिस्थापित करके उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करते हैं जहाँ रेखा L अन्य दो रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है।
Step 7: रेखा L का समीकरण और बिंदु की जाँच
हम बिंदु A और Q का उपयोग करके रेखा L का समीकरण ज्ञात करते हैं। फिर, हम दिए गए विकल्पों में से प्रत्येक बिंदु को रेखा L के समीकरण में प्रतिस्थापित करके जाँचते हैं कि कौन सा बिंदु रेखा L पर स्थित है।