रेखा L_1 पर कोई भी बिंदु P के निर्देशांक (1 + 2, -1 + 3, 1 + 4) होंगे, और रेखा L_2 पर कोई भी बिंदु Q के निर्देशांक (3 +, 4 + 2,) होंगे।

रेखा L_1 पर कोई भी बिंदु P के निर्देशांक (1 + 2, -1 + 3, 1 + 4) होंगे, और रेखा L_2 पर कोई भी बिंदु Q के निर्देशांक (3 +, 4 + 2,) होंगे।

चूंकि बिंदु A, P, Q संरेखीय हैं, इसलिए सदिश AP और AQ समानांतर होंगे। इसका अर्थ है कि उनके दिशा अनुपात समानुपाती होंगे।

चूंकि बिंदु A, P, Q संरेखीय हैं, इसलिए सदिश AP और AQ समानांतर होंगे। इसका अर्थ है कि उनके दिशा अनुपात समानुपाती होंगे।

Let the line $L$ pass through $(1, 1, 1)$ and intersect the lines $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{4} \quad \text{and} \quad \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z}{1}.$ Then, which of the following points lies on the line $L$ ?

Answer: बिंदु $(4, 8, 7)$ रेखा $L$ पर स्थित है।

Step-by-step solution

Step 1: रेखाओं के सामान्य बिंदु ज्ञात करना

सबसे पहले, हम दी गई दोनों रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के सामान्य बिंदुओं को पैरामीट्रिक रूप में व्यक्त करते हैं। इससे हमें इन रेखाओं पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक $\lambda$ और $\mu$ के पदों में मिल जाते हैं।

Step 2: रेखाओं पर बिंदुओं के निर्देशांक

रेखा $L_1$ पर कोई भी बिंदु $P$ के निर्देशांक $(1 + 2\lambda, -1 + 3\lambda, 1 + 4\lambda)$ होंगे, और रेखा $L_2$ पर कोई भी बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(3 + \mu, 4 + 2\mu, \mu)$ होंगे।

Step 3: रेखा L के लिए दिशा अनुपात

रेखा $L$ बिंदु $A(1, 1, 1)$ से होकर गुजरती है और $L_1$ तथा $L_2$ को प्रतिच्छेद करती है। इसका मतलब है कि $L_1$ पर एक बिंदु $P$ और $L_2$ पर एक बिंदु $Q$ ऐसा होगा कि $A, P, Q$ संरेखीय होंगे। हम $A$ से $P$ और $A$ से $Q$ तक के सदिशों के दिशा अनुपात ज्ञात करते हैं।

Step 4: संरेखीयता की शर्त का उपयोग करना

चूंकि बिंदु $A, P, Q$ संरेखीय हैं, इसलिए सदिश $\vec{AP}$ और $\vec{AQ}$ समानांतर होंगे। इसका अर्थ है कि उनके दिशा अनुपात समानुपाती होंगे।

Step 5: पैरामीटर मानों को हल करना

हम संरेखीयता की शर्त से प्राप्त समीकरणों को हल करके $\lambda$ और $\mu$ के मान ज्ञात करते हैं। इससे हमें उन विशिष्ट बिंदुओं $P$ और $Q$ के लिए पैरामीटर मान मिलते हैं जो रेखा $L$ पर स्थित हैं।

Step 6: रेखा L पर बिंदु ज्ञात करना

अब हम $\lambda$ और $\mu$ के मानों को $P$ और $Q$ के निर्देशांकों में प्रतिस्थापित करके उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करते हैं जहाँ रेखा $L$ अन्य दो रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है।

Step 7: रेखा L का समीकरण और बिंदु की जाँच

हम बिंदु $A$ और $Q$ का उपयोग करके रेखा $L$ का समीकरण ज्ञात करते हैं। फिर, हम दिए गए विकल्पों में से प्रत्येक बिंदु को रेखा $L$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करके जाँचते हैं कि कौन सा बिंदु रेखा $L$ पर स्थित है।

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