Let the parabola y=x2+px−3 meet the coordinate axes at the points P, Q, and R. If the circle C with centre at (−1,−1) passes through the points P, Q, and R, then the area of △PQR is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: अक्षों पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें
सबसे पहले, हम परवलय के निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करेंगे। ये बिंदु P, Q, और R हैं।
Step 2: बिंदुओं P, Q, R के निर्देशांक ज्ञात करें
जब x=0 होता है, तो y=02+p(0)−3=−3 होता है। इसलिए, y -अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु P(0,−3) है।
जब y=0 होता है, तो x2+px−3=0 होता है। मान लीजिए कि इस द्विघात समीकरण के मूल x1 और x2 हैं। इसलिए, x -अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु Q(x1,0) और R(x2,0) हैं।
द्विघात समीकरण के मूलों के संबंध से, x1+x2=−p और x1x2=−3 ।
Step 3: वृत्त के समीकरण का उपयोग करें
वृत्त C का केंद्र (−1,−1) है और यह P(0,−3), Q(x1,0) और R(x2,0) से होकर गुजरता है।
वृत्त के समीकरण में केंद्र और बिंदु P के निर्देशांक रखने पर, हम त्रिज्या का वर्ग ज्ञात कर सकते हैं। (0−(−1))2+(−3−(−1))2=r2 (1)2+(−2)2=r2 1+4=r2 r2=5 $
Step 4: बिंदुओं Q और R के लिए p का मान ज्ञात करें
चूंकि वृत्त Q(x1,0) और R(x2,0) से भी होकर गुजरता है, इसलिए ये बिंदु वृत्त के समीकरण को संतुष्ट करेंगे: (x1+1)2+(1)2=5⟹(x1+1)2+1=5⟹(x1+1)2=4⟹x1+1=±2 इसलिए, x1=1 या x1=−3 ।
इसी प्रकार, x2=1 या x2=−3 ।
चूंकि x1 और x2 अलग-अलग बिंदु हैं, हम x1=1 और x2=−3 (या इसके विपरीत) ले सकते हैं।
अब, x1+x2=−p से, 1+(−3)=−p⟹−2=−p⟹p=2 ।
Step 5: त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल ज्ञात करें
बिंदु P(0,−3), Q(1,0) और R(−3,0) हैं।
आधार QR की लंबाई x -अक्ष पर बिंदुओं Q और R के बीच की दूरी है। आधार=∣x1−x2∣=∣1−(−3)∣=∣1+3∣=4 ऊंचाई P से x -अक्ष तक की लंबवत दूरी है, जो P के y -निर्देशांक का निरपेक्ष मान है। ऊंचाई=∣−3∣=3 त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल(△PQR)=21×4×3=6 $