चूंकि वृत्त Q(x_1, 0) और R(x_2, 0) से भी होकर गुजरता है, इसलिए ये बिंदु वृत्त के समीकरण को संतुष्ट करेंगे: (x_1 + 1)² + (1)² = 5 ⇒ (x_1 + 1)² + 1 = 5 ⇒ (x_1 + 1)² = 4 ⇒ x_1 + 1 = ± 2 इसलिए, x_1 = 1 या x_1 = -3। इसी प्रकार, x_2 = 1 या x_2 = -3। चूंकि x_1 और x_2 अलग-अलग बिंदु हैं, हम x_1 = 1 और x_2 = -3 (या इसके विपरीत) ले सकते हैं। अब, x_1 + x_2 = -p से, 1 + (-3) = -p ⇒ -2 = -p ⇒ p = 2।

चूंकि वृत्त Q(x_1, 0) और R(x_2, 0) से भी होकर गुजरता है, इसलिए ये बिंदु वृत्त के समीकरण को संतुष्ट करेंगे: (x_1 + 1)² + (1)² = 5 ⇒ (x_1 + 1)² + 1 = 5 ⇒ (x_1 + 1)² = 4 ⇒ x_1 + 1 = ± 2 इसलिए, x_1 = 1 या x_1 = -3। इसी प्रकार, x_2 = 1 या x_2 = -3। चूंकि x_1 और x_2 अलग-अलग बिंदु हैं, हम x_1 = 1 और x_2 = -3 (या इसके विपरीत) ले सकते हैं। अब, x_1 + x_2 = -p से, 1 + (-3) = -p ⇒ -2 = -p ⇒ p = 2।

Let the parabola $y = x^2 + p x - 3$ meet the coordinate axes at the points $P$ , $Q$ , and $R$ . If the circle $C$ with centre at $(-1, -1)$ passes through the points $P$ , $Q$ , and $R$ , then the area of $\triangle PQR$ is:

Answer: $\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $6$ वर्ग इकाई है।

Step-by-step solution

Step 1: अक्षों पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें

सबसे पहले, हम परवलय के निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करेंगे। ये बिंदु $P$ , $Q$ , और $R$ हैं।

Step 2: बिंदुओं P, Q, R के निर्देशांक ज्ञात करें

जब $x=0$ होता है, तो $y = 0^2 + p(0) - 3 = -3$ होता है। इसलिए, $y$ -अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु $P(0, -3)$ है। जब $y=0$ होता है, तो $x^2 + p x - 3 = 0$ होता है। मान लीजिए कि इस द्विघात समीकरण के मूल $x_1$ और $x_2$ हैं। इसलिए, $x$ -अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु $Q(x_1, 0)$ और $R(x_2, 0)$ हैं। द्विघात समीकरण के मूलों के संबंध से, $x_1 + x_2 = -p$ और $x_1 x_2 = -3$ ।

Step 3: वृत्त के समीकरण का उपयोग करें

वृत्त $C$ का केंद्र $(-1, -1)$ है और यह $P(0, -3)$ , $Q(x_1, 0)$ और $R(x_2, 0)$ से होकर गुजरता है। वृत्त के समीकरण में केंद्र और बिंदु $P$ के निर्देशांक रखने पर, हम त्रिज्या का वर्ग ज्ञात कर सकते हैं। $(0 - (-1))^2 + (-3 - (-1))^2 = r^2$ $(1)^2 + (-2)^2 = r^2$ $1 + 4 = r^2$ $r^2 = 5$

Step 4: बिंदुओं Q और R के लिए p का मान ज्ञात करें

चूंकि वृत्त $Q(x_1, 0)$ और $R(x_2, 0)$ से भी होकर गुजरता है, इसलिए ये बिंदु वृत्त के समीकरण को संतुष्ट करेंगे: $(x_1 + 1)^2 + (1)^2 = 5 \implies (x_1 + 1)^2 + 1 = 5 \implies (x_1 + 1)^2 = 4 \implies x_1 + 1 = \pm 2$ इसलिए, $x_1 = 1$ या $x_1 = -3$ । इसी प्रकार, $x_2 = 1$ या $x_2 = -3$ । चूंकि $x_1$ और $x_2$ अलग-अलग बिंदु हैं, हम $x_1 = 1$ और $x_2 = -3$ (या इसके विपरीत) ले सकते हैं। अब, $x_1 + x_2 = -p$ से, $1 + (-3) = -p \implies -2 = -p \implies p = 2$ ।

Step 5: त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल ज्ञात करें

बिंदु $P(0, -3)$ , $Q(1, 0)$ और $R(-3, 0)$ हैं। आधार $QR$ की लंबाई $x$ -अक्ष पर बिंदुओं $Q$ और $R$ के बीच की दूरी है। $\text{आधार} = |x_1 - x_2| = |1 - (-3)| = |1 + 3| = 4$ ऊंचाई $P$ से $x$ -अक्ष तक की लंबवत दूरी है, जो $P$ के $y$ -निर्देशांक का निरपेक्ष मान है। $\text{ऊंचाई} = |-3| = 3$ त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल है: $\text{क्षेत्रफल}(\triangle PQR) = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$

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Let the parabola y=x2+px−3y = x^2 + p x - 3y=x2+px−3 meet the coordinate axes at the points PPP, QQQ, and RRR. If the circle CCC with centre at (−1,−1)(-1, -1)(−1,−1) passes through the points PPP, QQQ, and RRR, then the area of △PQR\triangle PQR△PQR is: