Let the point AA divide the line segment joining the points P(−1,−1,2)P(-1,-1{,}2) and Q(5,5,10)Q(5{,}5{,}10) internally in the ratio r:1r:1 (r>0r>0). If OO is the origin and (OQ→⋅OA→−15∣OP→×OA→∣2=10)(\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA} - \frac{1}{5}|\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA}|^2 = 10), then the value of rr is:

Answer: 7

Step-by-step solution

Step 1: बिंदु A के स्थिति सदिश ज्ञात करें

बिंदु AA रेखाखंड PQPQ को r:1r:1 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करके, हम मूल बिंदु OO के सापेक्ष बिंदु AA के स्थिति सदिश OA→\overrightarrow{OA} को ज्ञात कर सकते हैं।

Step 2: दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करें

दिए गए बिंदुओं P(−1,−1,2)P(-1,-1{,}2) और Q(5,5,10)Q(5{,}5{,}10) के स्थिति सदिशों को OP→=−i^−j^+2k^\overrightarrow{OP} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} और OQ→=5i^+5j^+10k^\overrightarrow{OQ} = 5\hat{i} + 5\hat{j} + 10\hat{k} के रूप में लिखा जा सकता है। इन मानों को OA→\overrightarrow{OA} के सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

Step 3: दिए गए समीकरण में मान प्रतिस्थापित करें

अब हम दिए गए समीकरण में OA→\overrightarrow{OA}, OP→\overrightarrow{OP} और OQ→\overrightarrow{OQ} के मानों को प्रतिस्थापित करेंगे।

Step 4: डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद की गणना करें

पहले OQ→⋅OA→\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA} की गणना करें। फिर OP→×OA→\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA} की गणना करें और उसके परिमाण का वर्ग ज्ञात करें।

Step 5: समीकरण को हल करें

अब, गणना किए गए डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद के मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें और rr के लिए हल करें।

Step 6: r का मान ज्ञात करें

चूंकि समस्या में दिया गया है कि r>0r>0, इसलिए r=0r=0 को अस्वीकार कर दिया जाता है। अतः, rr का मान 77 है।

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