Let the point A divide the line segment joining the points P(−1,−1,2) and Q(5,5,10) internally in the ratio r:1 (r>0). If O is the origin and (OQ⋅OA−51∣OP×OA∣2=10), then the value of r is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: बिंदु A के स्थिति सदिश ज्ञात करें
बिंदु A रेखाखंड PQ को r:1 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करके, हम मूल बिंदु O के सापेक्ष बिंदु A के स्थिति सदिश OA को ज्ञात कर सकते हैं।
Step 2: दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करें
दिए गए बिंदुओं P(−1,−1,2) और Q(5,5,10) के स्थिति सदिशों को OP=−i^−j^+2k^ और OQ=5i^+5j^+10k^ के रूप में लिखा जा सकता है। इन मानों को OA के सूत्र में प्रतिस्थापित करें।
Step 3: दिए गए समीकरण में मान प्रतिस्थापित करें
अब हम दिए गए समीकरण में OA, OP और OQ के मानों को प्रतिस्थापित करेंगे।
Step 4: डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद की गणना करें
पहले OQ⋅OA की गणना करें। फिर OP×OA की गणना करें और उसके परिमाण का वर्ग ज्ञात करें।
Step 5: समीकरण को हल करें
अब, गणना किए गए डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद के मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें और r के लिए हल करें।
Step 6: r का मान ज्ञात करें
चूंकि समस्या में दिया गया है कि r>0, इसलिए r=0 को अस्वीकार कर दिया जाता है। अतः, r का मान 7 है।