Let the product of the focal distances of the point (3,21) on the ellipse a2x2+b2y2=1, (a > b), be 47. Then the absolute difference of the eccentricities of two such ellipses is
Get the complete, step-by-step math solution for: "Let the product of the focal distances of the point √(3), (1)/(2) on the ellipse (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1, (a > b), be (7)/(4). Then the absolute dif...". Powered by SolveForX AI math tutor.
Step-by-Step Solution
Step 1: दीर्घवृत्त के लिए नाभिकीय दूरियों का सूत्र
दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु P(x1,y1) की दो नाभियों S1 और S2 से दूरियाँ क्रमशः a−ex1 और a+ex1 होती हैं, जहाँ a दीर्घ अक्ष की आधी लंबाई और e उत्केंद्रता है।
Step 2: नाभिकीय दूरियों का गुणनफल ज्ञात करना
हमें दिया गया है कि बिंदु (3,21) दीर्घवृत्त पर स्थित है और इसकी नाभिकीय दूरियों का गुणनफल 47 है। हम नाभिकीय दूरियों के गुणनफल का सूत्र लागू करते हैं।
Step 3: उत्केंद्रता के लिए समीकरण स्थापित करना
दिए गए बिंदु P(3,21) के लिए x1=3 है। हम इस मान को नाभिकीय दूरियों के गुणनफल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 4: दीर्घवृत्त के समीकरण का उपयोग करना
चूंकि बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित है, यह दीर्घवृत्त के समीकरण को संतुष्ट करेगा। हम b2=a2(1−e2) संबंध का भी उपयोग करते हैं।
Step 5: उत्केंद्रता के लिए द्विघात समीकरण हल करना
हम a2 के लिए पहले प्राप्त व्यंजक को दीर्घवृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। यह e2 में एक द्विघात समीकरण की ओर ले जाता है, जिसे हम हल करते हैं।
Step 6: उत्केंद्रताओं का निरपेक्ष अंतर ज्ञात करना
हमें उत्केंद्रता के दो मान प्राप्त हुए हैं। अब हम इन दो मानों का निरपेक्ष अंतर ज्ञात करते हैं।