हमें दिया गया है कि बिंदु (√3, (1)/(2)) दीर्घवृत्त पर स्थित है और इसकी नाभिकीय दूरियों का गुणनफल (7)/(4) है। हम नाभिकीय दूरियों के गुणनफल का सूत्र लागू करते हैं।

हमें दिया गया है कि बिंदु (√3, (1)/(2)) दीर्घवृत्त पर स्थित है और इसकी नाभिकीय दूरियों का गुणनफल (7)/(4) है। हम नाभिकीय दूरियों के गुणनफल का सूत्र लागू करते हैं।

चूंकि बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित है, यह दीर्घवृत्त के समीकरण को संतुष्ट करेगा। हम b² = a²(1 - e²) संबंध का भी उपयोग करते हैं।

चूंकि बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित है, यह दीर्घवृत्त के समीकरण को संतुष्ट करेगा। हम b² = a²(1 - e²) संबंध का भी उपयोग करते हैं।

हम a² के लिए पहले प्राप्त व्यंजक को दीर्घवृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। यह e² में एक द्विघात समीकरण की ओर ले जाता है, जिसे हम हल करते हैं।

हम a² के लिए पहले प्राप्त व्यंजक को दीर्घवृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। यह e² में एक द्विघात समीकरण की ओर ले जाता है, जिसे हम हल करते हैं।

Let the product of the focal distances of the point $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ on the ellipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ , $(a > b)$ , be $\frac{7}{4}$ . Then the absolute difference of the eccentricities of two such ellipses is

Answer: दो ऐसे दीर्घवृत्तों की उत्केंद्रताओं का निरपेक्ष अंतर $\frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{6}}{6}$ है।

Step-by-step solution

Step 1: दीर्घवृत्त के लिए नाभिकीय दूरियों का सूत्र

दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु $P(x_1, y_1)$ की दो नाभियों $S_1$ और $S_2$ से दूरियाँ क्रमशः $a - ex_1$ और $a + ex_1$ होती हैं, जहाँ $a$ दीर्घ अक्ष की आधी लंबाई और $e$ उत्केंद्रता है।

Step 2: नाभिकीय दूरियों का गुणनफल ज्ञात करना

हमें दिया गया है कि बिंदु $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है और इसकी नाभिकीय दूरियों का गुणनफल $\frac{7}{4}$ है। हम नाभिकीय दूरियों के गुणनफल का सूत्र लागू करते हैं।

Step 3: उत्केंद्रता के लिए समीकरण स्थापित करना

दिए गए बिंदु $P\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ के लिए $x_1 = \sqrt{3}$ है। हम इस मान को नाभिकीय दूरियों के गुणनफल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 4: दीर्घवृत्त के समीकरण का उपयोग करना

चूंकि बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित है, यह दीर्घवृत्त के समीकरण को संतुष्ट करेगा। हम $b^2 = a^2(1 - e^2)$ संबंध का भी उपयोग करते हैं।

Step 5: उत्केंद्रता के लिए द्विघात समीकरण हल करना

हम $a^2$ के लिए पहले प्राप्त व्यंजक को दीर्घवृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। यह $e^2$ में एक द्विघात समीकरण की ओर ले जाता है, जिसे हम हल करते हैं।

Step 6: उत्केंद्रताओं का निरपेक्ष अंतर ज्ञात करना

हमें उत्केंद्रता के दो मान प्राप्त हुए हैं। अब हम इन दो मानों का निरपेक्ष अंतर ज्ञात करते हैं।

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