हम दिए गए फलन को सरल बनाने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करेंगे। सबसे पहले, हम गुणनफल cos x · cos ((π)/(3) - x) · cos ((π)/(3) + x) को सरल करेंगे। हम जानते हैं कि cos A cos(60^° - A) cos(60^° + A) = (1)/(4) cos 3A होता है। यहाँ (π)/(3) का अर्थ 60^° है।

हम दिए गए फलन को सरल बनाने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करेंगे। सबसे पहले, हम गुणनफल cos x · cos ((π)/(3) - x) · cos ((π)/(3) + x) को सरल करेंगे। हम जानते हैं कि cos A cos(60^° - A) cos(60^° + A) = (1)/(4) cos 3A होता है। यहाँ (π)/(3) का अर्थ 60^° है।

हमें बिंदु (α, β) = (5, 7) से रेखा 3x + 4y + 12 = 0 की दूरी ज्ञात करनी है। एक बिंदु (x_1, y_1) से रेखा Ax + By + C = 0 की दूरी का सूत्र d = (|Ax_1 + By_1 + C|)/(√(A² + B²)) है। इस सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें दूरी 11 प्राप्त होती है।

हमें बिंदु (α, β) = (5, 7) से रेखा 3x + 4y + 12 = 0 की दूरी ज्ञात करनी है। एक बिंदु (x_1, y_1) से रेखा Ax + By + C = 0 की दूरी का सूत्र d = (|Ax_1 + By_1 + C|)/(√(A² + B²)) है। इस सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें दूरी 11 प्राप्त होती है।

Let the range of the function $f(x) = 6 + 16 \cos x \cdot \cos \left(\frac{\pi}{3} - x\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{3} + x\right) \cdot \sin 3x \cdot \cos 6x$ , $x \in \mathbf{R}$ be $[\alpha, \beta]$ . Then the distance of the point $(\alpha, \beta)$ from the line $3x + 4y + 12 = 0$ is:

Answer: 11

Step-by-step solution

Step 1: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करें

हम दिए गए फलन को सरल बनाने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करेंगे। सबसे पहले, हम गुणनफल $\cos x \cdot \cos \left(\frac{\pi}{3} - x\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{3} + x\right)$ को सरल करेंगे। हम जानते हैं कि $\cos A \cos(60^\circ - A) \cos(60^\circ + A) = \frac{1}{4} \cos 3A$ होता है। यहाँ $\frac{\pi}{3}$ का अर्थ $60^\circ$ है।

Step 2: फलन को सरल करें

अब हम इस सर्वसमिका को मूल फलन में प्रतिस्थापित करेंगे। इससे फलन सरल हो जाएगा और हम आगे की गणना कर पाएंगे।

Step 3: एक और त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करें

हम जानते हैं कि $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ होता है। इस सर्वसमिका का उपयोग करके, हम $4 \cos 3x \sin 3x$ को सरल कर सकते हैं।

Step 4: फलन को और सरल करें

पिछले चरण की सर्वसमिका का उपयोग करके, हम फलन को $f(x) = 6 + 2 \sin 6x \cos 6x$ के रूप में लिख सकते हैं।

Step 5: अंतिम सरलीकरण

एक बार फिर $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ सर्वसमिका का उपयोग करके, हम $2 \sin 6x \cos 6x$ को $\sin 12x$ के रूप में लिख सकते हैं। इस प्रकार, फलन का अंतिम सरल रूप $f(x) = 6 + \sin 12x$ है।

Step 6: फलन की सीमा ज्ञात करें

हम जानते हैं कि $\sin \theta$ का मान $-1$ और $1$ के बीच होता है। इसलिए, $\sin 12x$ का मान भी $-1$ और $1$ के बीच होगा। फलन $f(x) = 6 + \sin 12x$ की सीमा ज्ञात करने के लिए, हम इस असमानता में $6$ जोड़ेंगे। इस प्रकार, फलन की सीमा $[5, 7]$ है। तो, $\alpha = 5$ और $\beta = 7$ ।

Step 7: बिंदु से रेखा की दूरी ज्ञात करें

हमें बिंदु $(\alpha, \beta) = (5, 7)$ से रेखा $3x + 4y + 12 = 0$ की दूरी ज्ञात करनी है। एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है। इस सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें दूरी $11$ प्राप्त होती है।

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