Let the range of the function f(x)=6+16cosx⋅cos(3π−x)⋅cos(3π+x)⋅sin3x⋅cos6x, x∈R be [α,β]. Then the distance of the point (α,β) from the line 3x+4y+12=0 is:
Get the complete, step-by-step math solution for: "Let the range of the function f(x) = 6 + 16 cos x · cos (π)/(3) - x · cos (π)/(3) + x · sin 3x · cos 6x, x {R} be [α, β]. Then the distance of the poi...". Powered by SolveForX AI math tutor.
Step-by-Step Solution
Step 1: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करें
हम दिए गए फलन को सरल बनाने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करेंगे। सबसे पहले, हम गुणनफल cosx⋅cos(3π−x)⋅cos(3π+x) को सरल करेंगे। हम जानते हैं कि cosAcos(60∘−A)cos(60∘+A)=41cos3A होता है। यहाँ 3π का अर्थ 60∘ है।
Step 2: फलन को सरल करें
अब हम इस सर्वसमिका को मूल फलन में प्रतिस्थापित करेंगे। इससे फलन सरल हो जाएगा और हम आगे की गणना कर पाएंगे।
Step 3: एक और त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करें
हम जानते हैं कि sin2A=2sinAcosA होता है। इस सर्वसमिका का उपयोग करके, हम 4cos3xsin3x को सरल कर सकते हैं।
Step 4: फलन को और सरल करें
पिछले चरण की सर्वसमिका का उपयोग करके, हम फलन को f(x)=6+2sin6xcos6x के रूप में लिख सकते हैं।
Step 5: अंतिम सरलीकरण
एक बार फिर sin2A=2sinAcosA सर्वसमिका का उपयोग करके, हम 2sin6xcos6x को sin12x के रूप में लिख सकते हैं। इस प्रकार, फलन का अंतिम सरल रूप f(x)=6+sin12x है।
Step 6: फलन की सीमा ज्ञात करें
हम जानते हैं कि sinθ का मान −1 और 1 के बीच होता है। इसलिए, sin12x का मान भी −1 और 1 के बीच होगा। फलन f(x)=6+sin12x की सीमा ज्ञात करने के लिए, हम इस असमानता में 6 जोड़ेंगे। इस प्रकार, फलन की सीमा [5,7] है। तो, α=5 और β=7 ।
Step 7: बिंदु से रेखा की दूरी ज्ञात करें
हमें बिंदु (α,β)=(5,7) से रेखा 3x+4y+12=0 की दूरी ज्ञात करनी है। एक बिंदु (x1,y1) से रेखा Ax+By+C=0 की दूरी का सूत्र d=A2+B2∣Ax1+By1+C∣ है। इस सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें दूरी 11 प्राप्त होती है।