दी गई रेखाओं के समीकरणों को मानक सदिश रूप में व्यक्त करें। पहली रेखा के लिए, बिंदु A_1 (3, α, 3) है और दिशा सदिश b_1 (3, -1, 1) है। दूसरी रेखा के लिए, बिंदु A_2 (-3, -7, β) है और दिशा सदिश b_2 (-3, 2, 4) है।

दी गई रेखाओं के समीकरणों को मानक सदिश रूप में व्यक्त करें। पहली रेखा के लिए, बिंदु A_1 (3, α, 3) है और दिशा सदिश b_1 (3, -1, 1) है। दूसरी रेखा के लिए, बिंदु A_2 (-3, -7, β) है और दिशा सदिश b_2 (-3, 2, 4) है।

दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी के सूत्र का उपयोग करने के लिए, हमें सदिश a_2 - a_1 और b_1 × b_2 की गणना करनी होगी। a_2 - a_1 दो बिंदुओं के बीच का सदिश है, और b_1 × b_2 दोनों दिशा सदिशों के लंबवत एक सदिश है।

दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी के सूत्र का उपयोग करने के लिए, हमें सदिश a_2 - a_1 और b_1 × b_2 की गणना करनी होगी। a_2 - a_1 दो बिंदुओं के बीच का सदिश है, और b_1 × b_2 दोनों दिशा सदिशों के लंबवत एक सदिश है।

दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र है d = | ( a_2 - a_1) · ( b_1 × b_2)| b_1 × b_2| |। हम पहले से गणना किए गए सदिशों के मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे।

दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र है d = | ( a_2 - a_1) · ( b_1 × b_2)| b_1 × b_2| |। हम पहले से गणना किए गए सदिशों के मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे।

दिए गए न्यूनतम दूरी 3√30 और गणना किए गए सदिशों के घटकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें। फिर, हम α और β से संबंधित एक समीकरण प्राप्त करने के लिए इसे सरल करेंगे।

दिए गए न्यूनतम दूरी 3√30 और गणना किए गए सदिशों के घटकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें। फिर, हम α और β से संबंधित एक समीकरण प्राप्त करने के लिए इसे सरल करेंगे।

दो संभावित समीकरणों को हल करें। हमें 5α + β के लिए दो मान मिलते हैं: 46 और -134। चूंकि प्रश्न में 5α + β का धनात्मक मान पूछा गया है, इसलिए हम धनात्मक मान चुनेंगे।

दो संभावित समीकरणों को हल करें। हमें 5α + β के लिए दो मान मिलते हैं: 46 और -134। चूंकि प्रश्न में 5α + β का धनात्मक मान पूछा गया है, इसलिए हम धनात्मक मान चुनेंगे।

Let the shortest distance between the lines $\frac{x-3}{3} = \frac{y-\alpha}{-1} = \frac{z-3}{1}$ and $\frac{x+3}{-3} = \frac{y+7}{2} = \frac{z-\beta}{4}$ be $3\sqrt{30}$ . Then the positive value of $5\alpha + \beta$ is:

Answer: $46$

Step-by-step solution

Step 1: रेखाओं के समीकरणों की पहचान करें

दी गई रेखाओं के समीकरणों को मानक सदिश रूप में व्यक्त करें। पहली रेखा के लिए, बिंदु $A_1$ $(3, \alpha, 3)$ है और दिशा सदिश $\vec{b}_{1}$ $(3, -1, 1)$ है। दूसरी रेखा के लिए, बिंदु $A_2$ $(-3, -7, \beta)$ है और दिशा सदिश $\vec{b}_{2}$ $(-3, 2, 4)$ है।

Step 2: सदिश $\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}$ और $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ की गणना करें

दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी के सूत्र का उपयोग करने के लिए, हमें सदिश $\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}$ और $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ की गणना करनी होगी। $\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}$ दो बिंदुओं के बीच का सदिश है, और $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ दोनों दिशा सदिशों के लंबवत एक सदिश है।

Step 3: न्यूनतम दूरी का सूत्र लागू करें

दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र है $d = \left| \frac{(\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}) \cdot (\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2})}{|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|} \right|$ । हम पहले से गणना किए गए सदिशों के मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे।

Step 4: मानों को प्रतिस्थापित करें और समीकरण हल करें

दिए गए न्यूनतम दूरी $3\sqrt{30}$ और गणना किए गए सदिशों के घटकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें। फिर, हम $\alpha$ और $\beta$ से संबंधित एक समीकरण प्राप्त करने के लिए इसे सरल करेंगे।

Step 5: समीकरण को सरल करें और $\alpha$ और $\beta$ के बीच संबंध ज्ञात करें

हर को सरल करें और अंश में डॉट उत्पाद की गणना करें। फिर, समीकरण को हल करने के लिए दोनों पक्षों को वर्ग करें और निरपेक्ष मान को हटा दें, जिससे $\alpha$ और $\beta$ के लिए दो संभावित समीकरण प्राप्त होंगे।

Step 6: संभावित मानों की गणना करें

दो संभावित समीकरणों को हल करें। हमें $5\alpha + \beta$ के लिए दो मान मिलते हैं: $46$ और $-134$ । चूंकि प्रश्न में $5\alpha + \beta$ का धनात्मक मान पूछा गया है, इसलिए हम धनात्मक मान चुनेंगे।

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