दिए गए परवलय का समीकरण y² = 4x है। इस समीकरण की तुलना मानक परवलय समीकरण y² = 4px से करने पर, हमें 4p = 4 मिलता है, जिसका अर्थ है p = 1। परवलय का फोकस (p, 0) होता है, इसलिए फोकस (1, 0) है।

दिए गए परवलय का समीकरण y² = 4x है। इस समीकरण की तुलना मानक परवलय समीकरण y² = 4px से करने पर, हमें 4p = 4 मिलता है, जिसका अर्थ है p = 1। परवलय का फोकस (p, 0) होता है, इसलिए फोकस (1, 0) है।

दूरी के वर्ग D² को सरल करने पर हमें t के पदों में एक बहुपद मिलता है। न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए, हम D² का t के सापेक्ष अवकलन करेंगे और इसे शून्य के बराबर रखेंगे।

दूरी के वर्ग D² को सरल करने पर हमें t के पदों में एक बहुपद मिलता है। न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए, हम D² का t के सापेक्ष अवकलन करेंगे और इसे शून्य के बराबर रखेंगे।

न्यूनतम दूरी 4 दी गई है, इसलिए D² = 16। t² = a-2 को D² के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 16 = -(a-2)² + a² मिलता है। इसे हल करने पर a=5 प्राप्त होता है।

न्यूनतम दूरी 4 दी गई है, इसलिए D² = 16। t² = a-2 को D² के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 16 = -(a-2)² + a² मिलता है। इसे हल करने पर a=5 प्राप्त होता है।

Let the shortest distance from $(a, 0)$ , $a > 0$ , to the parabola $y^2 = 4x$ be 4. Then the equation of the circle passing through the point $(a, 0)$ and the focus of the parabola, and having its centre on the axis of the parabola is:

Answer: वृत्त का समीकरण $(x - 3)^2 + y^2 = 4$ है।

Step-by-step solution

Step 1: परवलय का समीकरण और फोकस ज्ञात करें

दिए गए परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है। इस समीकरण की तुलना मानक परवलय समीकरण $y^2 = 4px$ से करने पर, हमें $4p = 4$ मिलता है, जिसका अर्थ है $p = 1$ । परवलय का फोकस $(p, 0)$ होता है, इसलिए फोकस $(1, 0)$ है।

Step 2: परवलय पर एक बिंदु और दूरी का सूत्र

परवलय $y^2 = 4x$ पर कोई भी बिंदु $(t^2, 2t)$ के रूप में लिया जा सकता है। बिंदु $(a, 0)$ से इस बिंदु तक की दूरी $D$ दूरी सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जाती है।

Step 3: न्यूनतम दूरी के लिए व्यंजक को सरल करें

दूरी के वर्ग $D^2$ को सरल करने पर हमें $t$ के पदों में एक बहुपद मिलता है। न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए, हम $D^2$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे और इसे शून्य के बराबर रखेंगे।

Step 4: न्यूनतम दूरी के लिए $t$ का मान ज्ञात करें

अवकलन को शून्य के बराबर रखने पर, हमें $t=0$ या $2t^2 + 4 - 2a = 0$ मिलता है। यदि $t=0$ , तो परवलय पर बिंदु $(0{,}0)$ है और दूरी $a$ है। यदि $2t^2 = 2a - 4$ , तो $t^2 = a - 2$ । चूंकि $t^2 \ge 0$ , इसलिए $a - 2 \ge 0 \implies a \ge 2$ ।

Step 5: $a$ का मान ज्ञात करें

न्यूनतम दूरी 4 दी गई है, इसलिए $D^2 = 16$ । $t^2 = a-2$ को $D^2$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $16 = -(a-2)^2 + a^2$ मिलता है। इसे हल करने पर $a=5$ प्राप्त होता है।

Step 6: वृत्त का समीकरण ज्ञात करें

वृत्त बिंदु $(a, 0) = (5, 0)$ और फोकस $(1, 0)$ से होकर गुजरता है। वृत्त का केंद्र परवलय के अक्ष पर है, जो $x$ -अक्ष है, इसलिए केंद्र $(h, 0)$ है। केंद्र $(h, 0)$ से $(5, 0)$ और $(1, 0)$ तक की दूरी समान होनी चाहिए।

Step 7: वृत्त के केंद्र और त्रिज्या की गणना करें

केंद्र $(h, 0)$ से $(5, 0)$ और $(1, 0)$ तक की दूरी को बराबर करने पर, हमें $h=3$ मिलता है। इसलिए केंद्र $(3, 0)$ है। त्रिज्या $r = \sqrt{(5-3)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{2^2} = 2$ है।

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Let the shortest distance from (a,0)(a, 0)(a,0), a>0a > 0a>0, to the parabola y2=4xy^2 = 4xy2=4x be 4. Then the equation of the circle passing through the point (a,0)(a, 0)(a,0) and the focus of the parabola, and having its centre on the axis of the parabola is: