Let the shortest distance from (a,0), a>0, to the parabola y2=4x be 4. Then the equation of the circle passing through the point (a,0) and the focus of the parabola, and having its centre on the axis of the parabola is:
Get the complete, step-by-step math solution for: "Let the shortest distance from (a, 0), a > 0, to the parabola y² = 4x be 4. Then the equation of the circle passing through the point (a, 0) and the f...". Powered by SolveForX AI math tutor.
Step-by-Step Solution
Step 1: परवलय का समीकरण और फोकस ज्ञात करें
दिए गए परवलय का समीकरण y2=4x है। इस समीकरण की तुलना मानक परवलय समीकरण y2=4px से करने पर, हमें 4p=4 मिलता है, जिसका अर्थ है p=1 । परवलय का फोकस (p,0) होता है, इसलिए फोकस (1,0) है।
Step 2: परवलय पर एक बिंदु और दूरी का सूत्र
परवलय y2=4x पर कोई भी बिंदु (t2,2t) के रूप में लिया जा सकता है। बिंदु (a,0) से इस बिंदु तक की दूरी D दूरी सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जाती है।
Step 3: न्यूनतम दूरी के लिए व्यंजक को सरल करें
दूरी के वर्ग D2 को सरल करने पर हमें t के पदों में एक बहुपद मिलता है। न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए, हम D2 का t के सापेक्ष अवकलन करेंगे और इसे शून्य के बराबर रखेंगे।
Step 4: न्यूनतम दूरी के लिए t का मान ज्ञात करें
अवकलन को शून्य के बराबर रखने पर, हमें t=0 या 2t2+4−2a=0 मिलता है। यदि t=0, तो परवलय पर बिंदु (0,0) है और दूरी a है। यदि 2t2=2a−4, तो t2=a−2 । चूंकि t2≥0, इसलिए a−2≥0⟹a≥2 ।
Step 5: a का मान ज्ञात करें
न्यूनतम दूरी 4 दी गई है, इसलिए D2=16 । t2=a−2 को D2 के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 16=−(a−2)2+a2 मिलता है। इसे हल करने पर a=5 प्राप्त होता है।
Step 6: वृत्त का समीकरण ज्ञात करें
वृत्त बिंदु (a,0)=(5,0) और फोकस (1,0) से होकर गुजरता है। वृत्त का केंद्र परवलय के अक्ष पर है, जो x -अक्ष है, इसलिए केंद्र (h,0) है। केंद्र (h,0) से (5,0) और (1,0) तक की दूरी समान होनी चाहिए।
Step 7: वृत्त के केंद्र और त्रिज्या की गणना करें
केंद्र (h,0) से (5,0) और (1,0) तक की दूरी को बराबर करने पर, हमें h=3 मिलता है। इसलिए केंद्र (3,0) है। त्रिज्या r=(5−3)2+(0−0)2=22=2 है।