Let the system of equations: 2x+3y+5z=9,7x+3y−2z=8,12x+3y−(4+λ)z=16−μ\begin{aligned} 2x + 3y + 5z &= 9, 7x + 3y - 2z &= 8, 12x + 3y - (4 + \lambda)z &= 16 - \mu \end{aligned} have infinitely many solutions. Then the radius of the circle centred at (λ,μ)(\lambda, \mu) and touching the line 4x=3y4x = 3y is:

Answer: त्रिज्या 3 है।

Step-by-step solution

Step 1: अनंत हल के लिए शर्त

एक रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए, गुणांकों के सारणिक का मान शून्य होना चाहिए। यह हमें λ\lambda का मान ज्ञात करने में मदद करेगा।

Step 2: सारणिक का मान ज्ञात करना

सारणिक का विस्तार करने पर, हमें λ\lambda के लिए एक समीकरण मिलता है। इस समीकरण को हल करके हम λ\lambda का मान प्राप्त करेंगे।

Step 3: λ का मान ज्ञात करना

पिछले चरण में प्राप्त समीकरण को सरल करने पर, हमें λ=5\lambda = 5 मिलता है।

Step 4: μ का मान ज्ञात करना

अनंत हल के लिए, किसी भी दो कॉलम को बदलने के बाद भी सारणिक का मान शून्य होना चाहिए। हम zz के गुणांकों वाले कॉलम को स्थिरांकों वाले कॉलम से बदल देते हैं। इससे हमें μ\mu का मान ज्ञात करने में मदद मिलेगी।

Step 5: μ के लिए सारणिक का विस्तार

इस सारणिक का विस्तार करने पर, हमें μ\mu के लिए एक समीकरण मिलता है।

Step 6: μ का मान ज्ञात करना

समीकरण को सरल करने पर, हमें μ=9\mu = 9 मिलता है।

Step 7: वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करना

वृत्त का केंद्र (λ,μ)=(5,9)(\lambda, \mu) = (5, 9) है और रेखा 4x−3y=04x - 3y = 0 है। एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी का सूत्र त्रिज्या देता है।

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