Let the system of equations:
2x+3y+5z=9,7x+3y−2z=8,12x+3y−(4+λ)z=16−μ
have infinitely many solutions. Then the radius of the circle centred at
(λ,μ)
and touching the line
4x=3y
is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: अनंत हल के लिए शर्त
एक रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए, गुणांकों के सारणिक का मान शून्य होना चाहिए। यह हमें
λ
का मान ज्ञात करने में मदद करेगा।
Step 2: सारणिक का मान ज्ञात करना
सारणिक का विस्तार करने पर, हमें
λ
के लिए एक समीकरण मिलता है। इस समीकरण को हल करके हम
λ
का मान प्राप्त करेंगे।
Step 3: λ का मान ज्ञात करना
पिछले चरण में प्राप्त समीकरण को सरल करने पर, हमें
λ=5
मिलता है।
Step 4: μ का मान ज्ञात करना
अनंत हल के लिए, किसी भी दो कॉलम को बदलने के बाद भी सारणिक का मान शून्य होना चाहिए। हम
z
के गुणांकों वाले कॉलम को स्थिरांकों वाले कॉलम से बदल देते हैं। इससे हमें
μ
का मान ज्ञात करने में मदद मिलेगी।
Step 5: μ के लिए सारणिक का विस्तार
इस सारणिक का विस्तार करने पर, हमें
μ
के लिए एक समीकरण मिलता है।
Step 6: μ का मान ज्ञात करना
समीकरण को सरल करने पर, हमें
μ=9
मिलता है।
Step 7: वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करना
वृत्त का केंद्र
(λ,μ)=(5,9)
है और रेखा
4x−3y=0
है। एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी का सूत्र त्रिज्या देता है।