Let the system of equations x+5y−z=1x + 5y - z = 1, 4x+3y−3z=74x + 3y - 3z = 7, and 24x+y+λz=μ24x + y + \lambda z = \mu, with λ,μ∈R\lambda,\mu \in \mathbb{R}, have infinitely many solutions. Then the number of solutions of this system, if x,y,zx,y,z are integers and satisfy 7≤x+y+z≤777 \le x+y+z \le 77, is:

Answer: 3

Step-by-step solution

Step 1: समीकरणों को आव्यूह रूप में लिखें

दिए गए समीकरणों के निकाय को आव्यूह रूप AX=BAX = B में लिखा जा सकता है, जहाँ AA गुणांक आव्यूह है और BB स्थिरांकों का आव्यूह है।

Step 2: अनंत हलों के लिए शर्त

एक रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए, गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए, और गुणांक आव्यूह की कोटि संवर्धित आव्यूह की कोटि के बराबर होनी चाहिए, जो कि चरों की संख्या से कम होनी चाहिए।

Step 3: सारणिक का मान ज्ञात करें और λ\lambda निकालें

आव्यूह AA का सारणिक ज्ञात करते हैं और इसे शून्य के बराबर सेट करते हैं ताकि λ\lambda का मान मिल सके।

Step 4: संवर्धित आव्यूह की कोटि का उपयोग करके μ\mu निकालें

अनंत हलों के लिए, संवर्धित आव्यूह की कोटि भी 2 होनी चाहिए। इसका मतलब है कि संवर्धित आव्यूह के किसी भी 3×33 \times 3 उप-आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए। हम पहले तीन स्तंभों का उपयोग करके सारणिक को शून्य के बराबर सेट करते हैं और μ\mu का मान ज्ञात करते हैं।

Step 5: समीकरणों को हल करें और x,y,zx,y,z के बीच संबंध ज्ञात करें

अब जब हमारे पास λ\lambda और μ\mu के मान हैं, तो हम पहले दो समीकरणों का उपयोग करके xx और zz को yy के पदों में व्यक्त कर सकते हैं।

Step 6: दी गई शर्त का उपयोग करके yy के पूर्णांक मान ज्ञात करें

दिए गए पूर्णांक प्रतिबंध 7≤x+y+z≤777 \le x+y+z \le 77 का उपयोग करके, हम yy के संभावित पूर्णांक मानों की सीमा ज्ञात करते हैं।

Step 7: हलों की संख्या ज्ञात करें

चूंकि yy के लिए तीन पूर्णांक मान संभव हैं, और प्रत्येक yy के मान के लिए xx और zz के अद्वितीय पूर्णांक मान प्राप्त होते हैं, इसलिए निकाय के तीन हल हैं।

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