Let the triangle PQR be the image of the triangle with vertices (1,3)(1{,}3), (3,1)(3{,}1), and (2,4)(2{,}4) in the line x+2y=2x + 2y = 2. If the centroid of △PQR\triangle PQR is the point (α,β)(\alpha, \beta), then 15(α−β)15(\alpha - \beta) is equal to:

Answer: 22

Step-by-step solution

Step 1: मूल त्रिभुज के केंद्रक की गणना करें

सबसे पहले, हम मूल त्रिभुज के शीर्षों (1,3)(1{,}3), (3,1)(3{,}1), और (2,4)(2{,}4) का उपयोग करके उसके केंद्रक GG के निर्देशांक ज्ञात करेंगे। केंद्रक का सूत्र सभी xx -निर्देशांकों का औसत और सभी yy -निर्देशांकों का औसत होता है।

Step 2: केंद्रक G का रेखा में प्रतिबिंब ज्ञात करें

हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज का केंद्रक उसके प्रतिबिंब त्रिभुज के केंद्रक का प्रतिबिंब होता है। इसलिए, हम मूल केंद्रक G(2,8/3)G(2, 8/3) का रेखा x+2y−2=0x + 2y - 2 = 0 में प्रतिबिंब ज्ञात करेंगे। एक बिंदु (x1,y1)(x_1, y_1) का रेखा ax+by+c=0ax+by+c=0 में प्रतिबिंब (x′,y′)(x', y') ज्ञात करने के लिए एक मानक सूत्र का उपयोग किया जाता है।

Step 3: प्रतिबिंब केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात करें

पिछले चरण में प्राप्त समीकरणों को हल करके, हम प्रतिबिंब केंद्रक G′=(x′,y′)G'=(x', y') के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं। ये निर्देशांक △PQR\triangle PQR के केंद्रक (α,β)(\alpha, \beta) के बराबर होंगे।

Step 4: α\alpha और β\beta के मान ज्ञात करें

हमने प्रतिबिंब केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात कर लिए हैं, जो कि △PQR\triangle PQR का केंद्रक (α,β)(\alpha, \beta) है। अब हम α\alpha और β\beta के मानों को स्पष्ट रूप से लिख सकते हैं।

Step 5: अंतिम व्यंजक का मान ज्ञात करें

अंत में, हम दिए गए व्यंजक 15(α−β)15(\alpha - \beta) का मान ज्ञात करने के लिए α\alpha और β\beta के मानों को प्रतिस्थापित करेंगे।

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